Hilbertscher Nullstellensatz < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Mo 23.08.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
in der Algebra-Vorlesung wurde der Hilbertsche Nullstellensatz bewiesen, aber leider keine Anwendung dazu gemacht.
Die Aussage des Satzes ist ja: Wenn [mm] $\mathfrak [/mm] a [mm] \subset A=K[X_1,...,X_n]$ [/mm] ein Ideal ist und $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann gilt:
$$ [mm] r(\mathfrak [/mm] a) [mm] =I(V(\mathfrak [/mm] a))$$
[mm] $r(\mathfrak [/mm] a)$ ist das Radikal von [mm] $\mathfrak [/mm] a$, [mm] $V(\mathfrak [/mm] a)$ ist die gemeinsame Nullstellenmenge von [mm] $\mathfrak [/mm] a$ und $I(X)$ ist das Ideal aller Polynome, welche auf [mm] $X\subset K^n$ [/mm] verschwinden.
Das haben wir also genau so definiert, wie es in ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz steht.
Nun bin ich mal im Internet auf eine Übungsaufgabe zum Hilbertschen Nullstellensatz gestoßen - leider find ich die Seite nicht mehr; ich kann mich aber noch erinnern, dass man den Hilbertschen Nullstellensatz anwenden sollte auf folgende Situation:
Der Polynomring ist [mm] $A=\mathbb [/mm] C[X,Y]$ und man betrachte die beiden Ideale [mm] $\mathfrak a=(X^2-Y^2)$ [/mm] und [mm] $\mathfrak b=((X-1)^4)$ [/mm] in $A$ und dann sollte man die Mengen [mm] $I(V(\mathfrak [/mm] a))$, [mm] $V(I(\mathfrak [/mm] a))$, [mm] $I(V(\mathfrak [/mm] b))$, [mm] $V(I(\mathfrak [/mm] b))$ und [mm] $V(\mathfrak [/mm] a)$, [mm] $V(\mathfrak [/mm] b)$ angeben.
Ich hab folgendes herausbekommen:
[mm] $V((X^2-Y^2)) [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \mathbb C^2\ |\ x=y \text{ oder } x=-y\}$,
[/mm]
$ [mm] V((X-1)^4)=\{(x,y) \in \mathbb C^2\ |\ x=1,\ y \in \mathbb C\}$,
[/mm]
[mm] $I(V((X-1)^4))=r((X-1)^4)=(X-1) [/mm] $,
$ [mm] I(V(X^2-Y^2)) =r((X^2-Y^2))= (X^2-Y^2)$
[/mm]
Frage: Ist das bisher richtig? Wie rechnet man [mm] $I(\mathfrak [/mm] a)$ und [mm] $I(\mathfrak [/mm] b)$ aus, so dass man [mm] $V(I((\mathfrak [/mm] a))$ und [mm] $V(I((\mathfrak [/mm] b))$ berechnen kann?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Di 24.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Kevin!
> in der Algebra-Vorlesung wurde der Hilbertsche
> Nullstellensatz bewiesen, aber leider keine Anwendung dazu
> gemacht.
>
> Die Aussage des Satzes ist ja: Wenn [mm]\mathfrak a \subset A=K[X_1,...,X_n][/mm]
> ein Ideal ist und [mm]K[/mm] ein algebraisch abgeschlossener
> Körper, dann gilt:
> [mm]r(\mathfrak a) =I(V(\mathfrak a))[/mm]
>
> [mm]r(\mathfrak a)[/mm] ist das Radikal von [mm]\mathfrak a[/mm], [mm]V(\mathfrak a)[/mm]
> ist die gemeinsame Nullstellenmenge von [mm]\mathfrak a[/mm] und
> [mm]I(X)[/mm] ist das Ideal aller Polynome, welche auf [mm]X\subset K^n[/mm]
> verschwinden.
>
> Das haben wir also genau so definiert, wie es in
> http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz
> steht.
>
> Nun bin ich mal im Internet auf eine Übungsaufgabe zum
> Hilbertschen Nullstellensatz gestoßen - leider find ich
> die Seite nicht mehr; ich kann mich aber noch erinnern,
> dass man den Hilbertschen Nullstellensatz anwenden sollte
> auf folgende Situation:
>
> Der Polynomring ist [mm]A=\mathbb C[X,Y][/mm] und man betrachte die
> beiden Ideale [mm]\mathfrak a=(X^2-Y^2)[/mm] und [mm]\mathfrak b=((X-1)^4)[/mm]
> in [mm]A[/mm] und dann sollte man die Mengen [mm]I(V(\mathfrak a))[/mm],
> [mm]V(I(\mathfrak a))[/mm], [mm]I(V(\mathfrak b))[/mm], [mm]V(I(\mathfrak b))[/mm] und
> [mm]V(\mathfrak a)[/mm], [mm]V(\mathfrak b)[/mm] angeben.
Was soll [mm] $I(\mathfrak [/mm] a)$ ueberhaupt sein? Das hab ich noch nie gesehen...
> Ich hab folgendes herausbekommen:
> [mm]V((X^2-Y^2)) = \{(x,y) \in \mathbb C^2\ |\ x=y \text{ oder } x=-y\}[/mm],
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]V((X-1)^4)=\{(x,y) \in \mathbb C^2\ |\ x=1,\ y \in \mathbb C\}[/mm],
> [mm]I(V((X-1)^4))=r((X-1)^4)=(X-1) [/mm],
> [mm]I(V(X^2-Y^2)) =r((X^2-Y^2))= (X^2-Y^2)[/mm]
> Frage: Ist das bisher richtig? Wie rechnet man [mm]I(\mathfrak a)[/mm]
> und [mm]I(\mathfrak b)[/mm] aus, so dass man [mm]V(I((\mathfrak a))[/mm] und
> [mm]V(I((\mathfrak b))[/mm] berechnen kann?
Siehe oben: was soll das ueberhaupt sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Di 24.08.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
> Was soll [mm]I(\mathfrak a)[/mm] ueberhaupt sein? Das hab ich noch
> nie gesehen...
In der Vorlesung wurden die Mengen $I(Y)$ (für [mm] $Y\subset \mathbb K^n$) [/mm] und [mm] $V(\mathfrak [/mm] a)$ (für ein Ideal $ [mm] \mathfrak [/mm] a [mm] \subset A=K[X_1,...,X_n] [/mm] $) so definiert:
[mm] $I(Y):=\{f \in A | f(y)=0\quad \forall\ y \in Y \}$
[/mm]
und
[mm] $V(\mathfrak a):=\{x \in k^n | f(x)=0\quad \forall\ f \in \mathfrak a \}$
[/mm]
Daher machen [mm] $I(\mathfrak [/mm] a)$ und [mm] $I(\mathfrak [/mm] b)$ eigentlich keinen Sinn. Wie gesagt, ich kann mich an die genaue Aufgabenstellung nicht mehr erinnern...
Gefragt wurde wohl nur nach den Mengen, die ich im ersten Posting schon ausgerechnet habe.
Die Radikalideale rechne ich so aus:
[mm] $r((X-1)^4)=r(\underbrace{(X-1)\cdot ... \cdot (X-1)}_{\text{4 mal}})=r((X-1)\cap ...\cap (X-1))=r(X-1)\cap ...\cap [/mm] r(X-1)=(X-1)$
[mm] $r((X^2-Y^2))=r((X-Y)(X+Y))=r(X-Y)\cap r(X+Y)=(X-Y)(X+Y)=X^2-Y^2$
[/mm]
oder zum Beispiel das Radikal von $((X-2)^2Y)$:
[mm] $r((X-2)^2Y)=r((X-2)^2\cap Y)=r((X-2)^2)\cap [/mm] r(Y)=(X-2)Y$
Das ist o.k. so, oder?
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 24.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Kevin,
> > Was soll [mm]I(\mathfrak a)[/mm] ueberhaupt sein? Das hab ich noch
> > nie gesehen...
>
> In der Vorlesung wurden die Mengen [mm]I(Y)[/mm] (für [mm]Y\subset \mathbb K^n[/mm])
> und [mm]V(\mathfrak a)[/mm] (für ein Ideal [mm]\mathfrak a \subset A=K[X_1,...,X_n] [/mm])
> so definiert:
>
> [mm]I(Y):=\{f \in A | f(y)=0\quad \forall\ y \in Y \}[/mm]
> und
> [mm]V(\mathfrak a):=\{x \in k^n | f(x)=0\quad \forall\ f \in \mathfrak a \}[/mm]
>
> Daher machen [mm]I(\mathfrak a)[/mm] und [mm]I(\mathfrak b)[/mm] eigentlich
> keinen Sinn.
genau :)
> Wie gesagt, ich kann mich an die genaue
> Aufgabenstellung nicht mehr erinnern...
>
> Gefragt wurde wohl nur nach den Mengen, die ich im ersten
> Posting schon ausgerechnet habe.
Ich vermute es auch...
Vielleicht waren noch Punktmengen gegeben und nach den Idealen davon gefragt, und dann nach den Nullstellenmengen dieser Ideale.
> Die Radikalideale rechne ich so aus:
> [mm]r((X-1)^4)=r(\underbrace{(X-1)\cdot ... \cdot (X-1)}_{\text{4 mal}})=r((X-1)\cap ...\cap (X-1))=r(X-1)\cap ...\cap r(X-1)=(X-1)[/mm]
>
> [mm]r((X^2-Y^2))=r((X-Y)(X+Y))=r(X-Y)\cap r(X+Y)=(X-Y)(X+Y)=X^2-Y^2[/mm]
>
> oder zum Beispiel das Radikal von [mm]((X-2)^2Y)[/mm]:
>
> [mm]r((X-2)^2Y)=r((X-2)^2\cap Y)=r((X-2)^2)\cap r(Y)=(X-2)Y[/mm]
>
> Das ist o.k. so, oder?
Ja. Bei Hauptidealen machst du den Erzeuger einfach quadratfrei (also Primfaktorzerlegung berechnen, alle Exponenten auf 1 setzen).
Schwierig wird's bei Idealen, die keine Hauptideale sind...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 24.08.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo Felix,
> Vielleicht waren noch Punktmengen gegeben und nach den
> Idealen davon gefragt, und dann nach den Nullstellenmengen
> dieser Ideale.
Das könnte auch sein. Um das Prinzip mal einzuüben, denke ich mir selbst eine Aufgabe dazu aus - das könnte nämlich durchaus klausurrelevant sein  :
Angenommen, ich möchte $I$ von der Menge $M$ berechnen, also $I(M)$, wobei $M$ gegeben ist durch [mm] $M:=\{(x,y)\in\mathbb C^2\ |\ x=4 \text{ oder }y=2 \}$. [/mm] Dann würde ich das einfach so ausrechnen:
$I(M)=(x-4)(y-2)=(xy-2x-4y+8)$.
Und umgekehrt wäre dann $V((xy-2x-4y+8))=M$.
Und $I(V((x-4)(y-2)))=r((x-4)(y-2))=I(M)$, weil die beiden Ideale schon quadratfrei sind.
Und noch kurz ein anderes Bsp.:
[mm] $N=\{(x,y)\in\mathbb C^2\ |\ x^2y=4,\ x+y=3 \}$
[/mm]
Ich möchte $I(N)$ berechnen.
[mm] $(3-y)^2y=9y-6y^2+y^3=4$
[/mm]
Also ist [mm] $I(N)=(9y-6y^2+y^3-4)$ [/mm]
Stimmt das alles?
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Kevin!
> > Vielleicht waren noch Punktmengen gegeben und nach den
> > Idealen davon gefragt, und dann nach den Nullstellenmengen
> > dieser Ideale.
>
> Das könnte auch sein. Um das Prinzip mal einzuüben, denke
> ich mir selbst eine Aufgabe dazu aus - das könnte nämlich
> durchaus klausurrelevant sein :
>
> Angenommen, ich möchte [mm]I[/mm] von der Menge [mm]M[/mm] berechnen, also
> [mm]I(M)[/mm], wobei [mm]M[/mm] gegeben ist durch [mm]M:=\{(x,y)\in\mathbb C^2\ |\ x=4 \text{ oder }y=2 \}[/mm].
> Dann würde ich das einfach so ausrechnen:
>
> [mm]I(M)=(x-4)(y-2)=(xy-2x-4y+8)[/mm].
>
> Und umgekehrt wäre dann [mm]V((xy-2x-4y+8))=M[/mm].
>
> Und [mm]I(V((x-4)(y-2)))=r((x-4)(y-2))=I(M)[/mm], weil die beiden
> Ideale schon quadratfrei sind.
Ja.
> Und noch kurz ein anderes Bsp.:
> [mm]N=\{(x,y)\in\mathbb C^2\ |\ x^2y=4,\ x+y=3 \}[/mm]
> Ich möchte
> [mm]I(N)[/mm] berechnen.
>
> [mm](3-y)^2y=9y-6y^2+y^3=4[/mm]
>
> Also ist [mm]I(N)=(9y-6y^2+y^3-4)[/mm]
>
> Stimmt das alles?
Nein, z.B. liegt $x + y - 3$ in $I(N)$, jedoch nicht in deinem Ideal.
Das Ideal ist kein Hauptideal. (Beachte, dass $N$ eine endliche Mengen von Punkten ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 25.08.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
> > Und noch kurz ein anderes Bsp.:
> > [mm]N=\{(x,y)\in\mathbb C^2\ |\ x^2y=4,\ x+y=3 \}[/mm]
> > Ich
> möchte
> > [mm]I(N)[/mm] berechnen.
> >
> > [mm](3-y)^2y=9y-6y^2+y^3=4[/mm]
> >
> > Also ist [mm]I(N)=(9y-6y^2+y^3-4)[/mm]
> >
> > Stimmt das alles?
>
> Nein, z.B. liegt [mm]x + y - 3[/mm] in [mm]I(N)[/mm], jedoch nicht in deinem
> Ideal.
Aber [mm]x + y - 3[/mm] liegt ja nicht für beliebige x und y in [mm]I(N)[/mm], sondern nur für solche x und y, die die andere Bedingung $(x^2y)=4$ auch noch erfüllen, oder ?!
Ich weiß jetzt wo mein Fehler liegt:
$N$ besteht ja nur aus den Punkten [mm] $\{2,1\}$ [/mm] und [mm] $\{-1,4\}$. [/mm]
Aber in dem Ideal [mm] $(9y-6y^2+y^3-4)$ [/mm] liegen alle Punkte [mm] $\left \{ (x,y)\in \mathbb C^2\ |\ y=1 \text{ oder }y=4,\ x\text{ beliebig } \right \}$, [/mm] also z. B. auch die Punkte [mm] $\{1,1\}$ [/mm] und [mm] $\{5,4\}$. [/mm]
> Das Ideal ist kein Hauptideal. (Beachte, dass [mm]N[/mm] eine
> endliche Mengen von Punkten ist.)
Wie sieht denn $I(N)$ aus bzw. wie berechnet man das?
LG,
Kevin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Kevin,
> > > Und noch kurz ein anderes Bsp.:
> > > [mm]N=\{(x,y)\in\mathbb C^2\ |\ x^2y=4,\ x+y=3 \}[/mm]
> > >
> Ich
> > möchte
> > > [mm]I(N)[/mm] berechnen.
> > >
> > > [mm](3-y)^2y=9y-6y^2+y^3=4[/mm]
> > >
> > > Also ist [mm]I(N)=(9y-6y^2+y^3-4)[/mm]
> > >
> > > Stimmt das alles?
> >
> > Nein, z.B. liegt [mm]x + y - 3[/mm] in [mm]I(N)[/mm], jedoch nicht in deinem
> > Ideal.
>
> Aber [mm]x + y - 3[/mm] liegt ja nicht für beliebige x und y in
> [mm]I(N)[/mm], sondern nur für solche x und y, die die andere
> Bedingung [mm](x^2y)=4[/mm] auch noch erfüllen, oder ?!
Ja. Aber $I(N)$ ist ja nicht die Menge der Polynome, die exakt die Nullstellenmenge $N$ haben. Sondern die der Polynome, die in $N$ ebenfalls Nullstellen haben.
$x + y - 3$ verschwindet auf der Punktemenge $N$ und liegt deswegen im zugehoerigen Verschwindungsideal.
>
> Ich weiß jetzt wo mein Fehler liegt:
>
> [mm]N[/mm] besteht ja nur aus den Punkten [mm]\{2,1\}[/mm] und [mm]\{-1,4\}[/mm].
genau.
> Aber in dem Ideal [mm](9y-6y^2+y^3-4)[/mm] liegen alle Punkte [mm]\left \{ (x,y)\in \mathbb C^2\ |\ y=1 \text{ oder }y=4,\ x\text{ beliebig } \right \}[/mm],
> also z. B. auch die Punkte [mm]\{1,1\}[/mm] und [mm]\{5,4\}[/mm].
Ja.
> > Das Ideal ist kein Hauptideal. (Beachte, dass [mm]N[/mm] eine
> > endliche Mengen von Punkten ist.)
>
> Wie sieht denn [mm]I(N)[/mm] aus bzw. wie berechnet man das?
Nun, eine Moeglichkeit ist, jeweils ein Ideal fuer beide Punkte zu berechnen, dann ist $I(N)$ das Produkt der beiden Ideale. Und fuer einen Punkt [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] ist das Ideal gleich $(x - [mm] x_0, [/mm] y - [mm] y_0)$.
[/mm]
Alternativ kannst du auch $(y - 1) (y - 4)$ als ersten erzeuger nehmen, plus $x + y - 3$ als zweiten Erzeuger. Das sollte das gleiche Ideal liefern.
Beweisen, dass dies das richtige Ideal ist, kannst du dadurch, indem du zeigst dass ein Polynom, welches die beiden Punkte als Nullstelle hat, in der Form $f [mm] \cdot [/mm] (y - 1) (y - 4) + g [mm] \cdot [/mm] (x + y - 3)$ mit $f, g [mm] \in \IC[x, [/mm] y]$ geschrieben werden kann. Das ist etwas muehsam, geht aber 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Do 26.08.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
danke für's Erklären. Das Prinzip hab ich nun verstanden. Ich hab mir auch den Beweis des Hilbert'schen Nullstellensatzes nochmal genau angeguckt, und da ist mir auch einiges klarer geworden.
Viele Grüße,
Kevin
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