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| Aufgabe | y= f(x)= [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] +6x
a) Berechnen sie den Schnittpunkt des Grafen dieser Funktion mit der Koordinatenachse.
b) Berechnen sie die Koordinaten der Extrempunkte und weisen sie deren art nach.
c) Frage: was ist ein katestisches Koordinatensystem? |
Hallo! Ich bin nach längerer Krankheit in die Schule zurück gekommen und muss mir jetzt eigentständig die Differenzialberechnung beibringen (wo mir mathe eh schon schwer fällt *heul*) Ich habe mir mal eine Aufgabe rausgesucht und hoffe dass mir jemand von euch helfen kann mir das ganze etwas zu erklären, damit ich ersteinmal ein Muster habe an dem ich mich orientieren kann. Vielen dank euch schon im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> y= f(x)= [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] +6x
>
> a) Berechnen sie den Schnittpunkt des Grafen dieser
> Funktion mit der Koordinatenachse.
Ich gehe mal davon aus, dass hier die Schnittpunkte mit DEN KoordinatenachseN gemeint sind.
Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu bestimmen, musst du die Gleichung mit Null gleichsetzen und nach x Auflösen.
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse musst du für x Null einsetzen.
X-Achse:
0= [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] +6x
y-Achse:
f(x)= [mm]\bruch{1}{3}* 0^{3}[/mm] - [mm]3*0^{2}[/mm] +6*0
> b) Berechnen sie die Koordinaten der Extrempunkte und
> weisen sie deren art nach.
Für diese Aufgabe wäre es hilfreich zu wissen, wie viel Wissen die noch fehlt. Weißt du schon, wie man Ableitungen bildet und was diese dann aussagen?
Wenn ja: Du musst die Ableitung von der Funktion bilden:
f'(x)= [mm] x^{2}[/mm] - [mm]6x [/mm] +6
Die Ableitung musst du nun mit Null gleichsetzen, da im Hoch- bzw. Tiefpunkt die Steigung Null ist. Du bekommst dann einen oder mehrere Werte für x heraus. Diese musst du in f(x) einsetzen und du bekommst somit die zugehörigen y-Werte für die Extrempunkte.
Um nun festzustellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, musst du die x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen:
f''(x)=2x-6
Wenn ein Wert <0 herauskommt, handelt es sich um einen Hochpunkt, bei einem Wert >0 ist es ein Tiefpunkt.
> c) Frage: was ist ein katestisches Koordinatensystem?
![[]](/images/popup.gif) Guck mal hier.
Ich hoffe, das hilft dir erst mal weiter. Wenn du noch fragen hast, dann frag einfach nach.
Liebe Grüße, Janina
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Danke für deine Antwort Janina! Ich habe jetzt mal diese Aufgabe versucht zu lösen und stelle sie mal hier online, vielleicht kannst du oder jemand anders sie mal überfliegen und nach fehlern absuchen (man wird bestimmt schnell fündig *grins*)
Ableitungen:
f '(x)= [mm] \bruch{3}{3} x^{2}+6x
[/mm]
f ''(x)= 3x+6
f'''= 3
Nullstellen:
[mm] (0,33x^{3}+3x^{2}+6 [/mm] : (x+2)= [mm] 0,33x^{2}+2x-3
[/mm]
[mm] -(0,33x^{3}+1x^{2}
[/mm]
[mm] 2x^{2}
[/mm]
[mm] -(2x^{2}+3x)
[/mm]
-3x
-3x+6
=0
[mm] 0,33x^{2}-2x-3 [/mm] > [mm] x^{2}-3x+6
[/mm]
$ [mm] x_{2,3}= -\bruch{3}{2} \pm \wurzel{\bruch{3}{2}^{2}-6} [/mm] $
$ [mm] x_{2,3}= [/mm] -2 [mm] \pm \wurzel{3-6}
[/mm]
$ [mm] x_{2}= [/mm] -6,27
$ [mm] x_{3}= [/mm] -9,73
Extremwerte:
f´(x)= [mm] \bruch{3}{3}x^{2}+6x
[/mm]
[mm] 0=\bruch{3}{3}x^{2}+6x /:\bruch{3}{3}
[/mm]
[mm] 0=x^{2.}+6x
[/mm]
$ [mm] x_{1,2}= \bruch{-6}{2} \pm \wurzel{\bruch{6}{2}^{2}}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] -2+2=0
[mm] x_{2}= [/mm] -2-2=-4
f''(x)= 3x+6
f´´ (0)= 6>0 Tiefpunkt
f´´(-4)= -6<0 Hochpunkt
Wendepunkt:
f´´(x)= 3x+6=0
-6=3x
-2=x
W (-2/0)
Ich hoffe ihr stiegt durch bei meinem geschreibsel...
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Wäre jemand von euch so lieb mir mal die gesamte aufgabe richtig zu posten bevor ich völlig den durchblick verliehre :S vielen lieben dank
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Hallo Jessibunny,
ich habe gerade leider keine Zeit, die Aufgabe komplett zu lösen, aber ich schreib hier mal, damit hoffentlich noch jemand anders deine Frage bemerkt. (du hast deinen letzten Beitrag nämlich als Mitteilung geschrieben, nicht als Frage. Dann merkt das keiner, dass du da noch Hilfe brauchst)
Ich hoffe, dass dir jetzt jemand weiterhilft :)
Liebe Grüße, Janina.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 08.05.2007 | | Autor: | Analytiker |
Hi Janina,
> ich habe gerade leider keine Zeit, die Aufgabe komplett zu
> lösen, aber ich schreib hier mal, damit hoffentlich noch
> jemand anders deine Frage bemerkt. (du hast deinen letzten
> Beitrag nämlich als Mitteilung geschrieben, nicht als
> Frage. Dann merkt das keiner, dass du da noch Hilfe
> brauchst)
Ich habe Jessi's Mitteilung als Frage deklariert und deine als Mitteilung. Denn auch Moderatoren schauen hier hin und wieder mal rein *lächel*...
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
schau mal hier
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
zuerst mal zu der Frage: Was ist ein kartesisches Koordinatensystem?
Hier die Erklärung.
Dann zu der eigentlichen Aufgabe:
1) Achsenschnittstellen:
y-Achse: Hier ist die x-Koordinate =0, also suchst du f(0)
Also ist der Punkt (0/f(0))=(0/0)
x-Achse: Hier ist die y-koordinate =0, also suchst du diejenigen [mm] x_{0}, [/mm] für die gilt: [mm] f(x_{0})=0
[/mm]
Also:
[mm] 0=\bruch{1}{3}x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+6x_{0} [/mm]
[mm] \gdw x_{0}(\bruch{1}{3}x_{0}²-3x_{0}+6)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{0}=0 [/mm] oder [mm] \bruch{1}{3}x_{0}²-3x_{0}+6=0
[/mm]
Also [mm] \red{x_{0_{1}}=0} [/mm]
Den Term [mm] \bruch{1}{3}x_{0}²-3x_{0}+6=0 [/mm] löst du jetzt per p-q-Formel, und bekommst die beiden weiteren Nullstellen
[mm] \red{x_{0_{2}}=6}, \red{x_{0_{3}}=3}
[/mm]
Für die Extrema [mm] x_{e} [/mm] gilt:
[mm] f'(x_{e})=0
[/mm]
Also:
f'(x)=x²-6x+6
Somit suchst du die Stellen [mm] x_{e}, [/mm] für die gilt:
[mm] x_{e}²-6x_{e}+6=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{e_{1}}=\bruch{4}{3} [/mm] und [mm] x_{e_{1}}=\bruch{14}{3}
[/mm]
Bleibt zu prüfen, ob das jetzt Hoch oder Tiefpunkte sind:
Dazu brauchen wir die zweite Ableitung:
f''(x)=2x-6
Also: [mm] f''(\bruch{14}{3})=3\bruch{1}{3}>0\Rightarrow [/mm] Tiefp.
[mm] f''(\bruch{4}{3})=-3\bruch{1}{3}<0\Rightarrow [/mm] Hochp.
Jetzt musst du mit den beiden Werten noch die genauen Punkte berechnen, indem du diese Werte in die Originalfunktion einsetzt.
Also [mm] f(\bruch{4}{3})=... [/mm] sowie [mm] f(\bruch{14}{3})=...
[/mm]
Somit ist der Punkt [mm] H(\bruch{4}{3}/f(\bruch{4}{3})) [/mm] ein Hochpunkt, der Punkt [mm] T(\bruch{14}{3}/f(\bruch{14}{3})) [/mm] ein Tiefp.
Marius
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p/q-Formel![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
