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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mi 07.07.2004 | | Autor: | blubli89 |
HaLLO,
ich würde gerne einen Beweis auf Korrektheit prüfen lassen.Leider hat er wiederrum eine Voraussetzung die ich nicht beweisen kann.
Es geht dabei um Potenzendifferenzen(im weiteren als Pd. abgekürzt) der Form [mm] a^2-(a-n)^2 [/mm] wobei n >1 ist.
Man kann grob zwei Arten von Pd. unterscheiden.
Pd. der Form [mm] a^2-(a-1)^2 [/mm] können alle ungeraden Zahlen generieren.
Primzahlen lassen sich ausschließlich durch [mm] a^2-(a-1)^2 [/mm] darstellen.
Teilbare ungerade Zahlen lassen sich ausserdem durch [mm] a^2-(a-n)^2 [/mm] darstellen,wobei n ungerade ist.
Der Beweis soll sich ausschließlich mit Pd. der Form [mm] a^2-(a-n)^2 [/mm] befassen.
Die Voraussetzung auf die der Beweis gründet kann ich leider nicht beweisen...
Sie lautet:
Eine Pd. der Form [mm] a^2-(a-n)^2 [/mm] (für teilbare ungerade Zahlen), setzt sich auf folgende Art und Weise zusammen.
[mm] :a^2 [/mm] = die Summe der Teiler,geteilt durch 2,wird potenziert
[mm] :-(a-n)^2 [/mm] = die Differenz der Teiler,geteilt durch 2 ,wird potenziert und von [mm] a^2 [/mm] abgezogen
Beispiele: 35=7*5 => [mm] ((7+5):2)^2-((7-5):2)^2=6^2-1^2 [/mm] = [mm] 6^2-(6-5)^2
[/mm]
55=11*5 => [mm] ((11+5):2)^2-((11-5):2)^2=8^2-3^2=8^2-(8-5)^2
[/mm]
65=13*5 => [mm] ((13+5):2)^2-((13-5):2)^2=9^2-4^2=9^2-(9-5)^2
[/mm]
Man könnte diese Liste bis in alle Ewigkeit fortsetzen ohne das die Regel gebrochen wird.
Ich kann mir nicht vorstellen das ich der erste bin ,der diese Beziehung gefunden hat, es müsste doch allgemein bekannt sein.
Vielleicht weiß jemand etwas darüber oder kennt einen Beweis? Das würde mir sehr helfen.
Viele Grüße Gerold
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
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Hallo Gerold,
> Pd. der Form [mm]a^2-(a-1)^2[/mm] können alle ungeraden Zahlen
> generieren.
Verstehe ich das richtig, dass du folgendes behauptest?
1. Zu jeder ungeraden natuerlichen Zahl u gibt es eine natuerliche Zahl a, so dass [mm] a^2-(a-1)^2=u [/mm] ist.
> Primzahlen lassen sich ausschließlich durch [mm]a^2-(a-1)^2[/mm]
> darstellen.
Behauptest du hier folgendes?
2. Ist n groesser als 1, dann ist [mm] a^2-(a-n)^2 [/mm] niemals eine Primzahl.
> Teilbare ungerade Zahlen lassen sich ausserdem durch
> [mm]a^2-(a-n)^2[/mm] darstellen,wobei n ungerade ist.
Was ist hier Voraussetzung, was Folgerung?
> Der Beweis soll sich ausschließlich mit Pd. der Form
> [mm]a^2-(a-n)^2[/mm] befassen.
Heisst das, dass du auch die Gleichung
[mm] a^2-(a-n)^2=n(2a-n)
[/mm]
nicht betrachtet?
Wenn n eine ungerade Primzahl und a=(n+1)/2 ist, dann ist 2a-n = 1 und deine Pd. ist eine Primzahl. Damit ist 2., so wie ich es verstehe, widerlegt.
Die Behauptung 1. liesse sich damit aber beweisen, indem man 2a-1=u loest.
> Die Voraussetzung auf die der Beweis gründet kann ich
> leider nicht beweisen...
> Sie lautet:
> Eine Pd. der Form [mm]a^2-(a-n)^2[/mm] (für teilbare ungerade
> Zahlen), setzt sich auf folgende Art und Weise zusammen.
> [mm]:a^2[/mm] = die Summe der Teiler,geteilt durch 2,wird
> potenziert
> [mm]:-(a-n)^2[/mm] = die Differenz der Teiler,geteilt durch 2 ,wird
> potenziert und von [mm]a^2[/mm] abgezogen
Wessen Teiler?
> Beispiele: 35=7*5 => [mm]((7+5):2)^2-((7-5):2)^2=6^2-1^2[/mm] =
> [mm]6^2-(6-5)^2
[/mm]
> [...]
> Man könnte diese Liste bis in alle Ewigkeit fortsetzen ohne
> das die Regel gebrochen wird.
Was ist mit 45 = [mm] 7^2-(7-5)^2? [/mm] Wie saehe diese Regel da aus? 45 = 3*3*5. Welche Teiler nimmst du? Interessant. Die Pd-Zerlegung funktioniert anscheinend fuer jede Aufteilung der 45 in zwei Teiler.
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Hallo Gerold,
[mm] n_{1}^{2}-n_{2}^{2}=(n_{1}-n_{2})(n_{1}+n_{2})
[/mm]
Also die Differenz der Quadrate zweier Zahlen ist das Produkt zwischen Differenz un Summe. Wenn wir die Differenz mit d bezeichnen und die Summe mit s:
[mm] n_{1}-n_{2}=d [/mm]
[mm] n_{1}+n_{2}=s
[/mm]
[mm] n_{1}= \bruch{s+d}{2}
[/mm]
[mm] n_{2}= \bruch{s-d}{2}
[/mm]
Deine Behauptung ist also:
[mm] sd=(\bruch{s+d}{2})^2- (\bruch{s-d}{2})^2 =(\bruch{s+d}{2})^2-( \bruch{s+d}{2}-d)^2
[/mm]
Wenn du jetzt die Bezeichnungen:
[mm] \bruch{s+d}{2}=a
[/mm]
[mm]d=n[/mm]
machst, ist das von dir entdeckte Theorem, glaube ich, bewiesen.
Viele liebe Grüße und Kompliment,
Ladis
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