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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Uwis |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1) [/mm] |
Hi, habe gerade angefangen Informatik zu studieren und mitbekommen, dass meine Schule echt versäumt hat, mich über vollst. Induktion aufzuklären.
Nun hab ich ne Übungsaufgabe und komm einfach nich auf den Beweis.
Hab den Induktionsanfang für n=1 überprüft und der stimmt.
Dann setz ich in der Reihe [mm] 1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2 [/mm] = 1/6*(n+1)*(n+2)*(2*n+3);
Jetzt kann ich aber mit dem linken Therm nix anfangen und setze für die Reihe bis [mm] n^2 [/mm] : 1/6*n*(n+1)*(2*n+1) und füge der Gleichheit wegen das (n+1) an.
Nun lautet meine Formel:
[mm] 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)+(n+1)^2 [/mm] = 1/6*(n+1)*(n+2)*(2*n+3)
Bis hierhin ist es korrekt, jedoch irretiert mich, dass im linken Therm eine Summe ist und im rechten nur Produkte.
Wie komm ich jetzt auf den Beweis?
Danke, Uwis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Fr 27.10.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Uwis!
> Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)[/mm]
> Hi, habe gerade
> angefangen Informatik zu studieren und mitbekommen, dass
> meine Schule echt versäumt hat, mich über vollst. Induktion
> aufzuklären.
Das ist auch meines Wissens kein Schulstoff.
> Nun hab ich ne Übungsaufgabe und komm einfach nich auf den
> Beweis.
>
> Hab den Induktionsanfang für n=1 überprüft und der stimmt.
> Dann setz ich in der Reihe [mm]1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2[/mm] =
> 1/6*(n+1)*(n+2)*(2*n+3);
> Jetzt kann ich aber mit dem linken Term nix anfangen und
> setze für die Reihe bis [mm]n^2[/mm] : 1/6*n*(n+1)*(2*n+1) und füge
> der Gleichheit wegen das [mm] (n+1)^{2} [/mm] an.
> Nun lautet meine Formel:
> [mm]1/6*n*(n+1)*(2*n+1)+(n+1)^2[/mm] = 1/6*(n+1)*(n+2)*(2*n+3)
> Bis hierhin ist es korrekt, jedoch irritiert mich, dass im
> linken Term eine Summe ist und im rechten nur Produkte.
> Wie komm ich jetzt auf den Beweis?
Indem du nachweist (durch Ausrechnen z. B.), daß beide Seiten wirklich gleich sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Das ist auch meines Wissens kein Schulstoff.
Wir haben das damals in der 12. (allgemeinbildendes Gymnasium, BaWü) als erstes Thema durchgemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Fr 27.10.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Das ist auch meines Wissens kein Schulstoff.
>
> Wir haben das damals in der 12. (allgemeinbildendes
> Gymnasium, BaWü) als erstes Thema durchgemacht.
Ich hab eben noch mal fix den Hamburger Rahmenplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe nach 'Induktion' durchsucht und nix gefunden. Ich wäre auch schon ganz zufrieden, wenn die hiesigen Schulen wenigstens das lehren würden, was in den Rahmenplänen steht.
Felix BaWü!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Also, für n=1 ist klar.
n=>n+1
setzen in linke Teil n+1 statt n:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^{2}=1+4+9+...+n^{2}+(n+1)^{2}=
[/mm]
für die Summe erster glieder wir haben, weil bei n unsere aussage gilt [mm] =1/6\cdot{}n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2\cdot{}n+1)+(n+1)^{2}=
[/mm]
[mm] =(n+1)(\bruch{1}{6}n(2n+1)+(n+1))=(n+1)(\bruch{2}{6}n^{2}+\bruch{7}{6}n+1)=\bruch{n+1}{6}(2n^{2}+7n+6)=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)
[/mm]
weil [mm] 2n^{2}+7n+6=(n+2)(2n+3)=(n+2)(2(n+1)+3)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Uwis |
Hi, danke für die Antwort. Diesen Therm hab ich auch rausbekommen, aber ich kann die Beziehung zum Urtherm nicht herstellen.
von [mm] \summe_{i=1}^{n} i^2 [/mm] = [mm] 2*n^2 [/mm] + 7*n + 6.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Brinki |
Hallo Uwis,
motormons hat dir in seiner vorhergehenden Antwort alles gezeigt.
Ich glaube, dir ist das Beweisprinzip der vollständigen Induktion noch nicht klar.
In diesem Fall könntest du bei 1 anfangen und die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen überprüfen.
Für n = 1 stimmt alles.
Auch für n=2 ist [mm]1+2^2= \bruch {1}{6}*2*3*5[/mm]
Wenn ich nun weiß, dass die Formel für n=2 gilt, kann ich ja mal prüfen, ob ich daraus durch Addition des nächsten Quadrates die gleiche Darstellung für die Summe der ersten 3 Quadratzahlen finde. (Dies ist im allgemeinen Beweis der Induktionsschritt von n-> n+1:
[mm]\bruch {1}{6}*2*3*5+3^2=\bruch {1}{6}*2*(2+1)*(2*2+1)+3^2[/mm]
Ich spare mir die Rechnerei, aber dir ist hoffentlich klar, dass damit nichts bewiesen ist. Für n=4 müsste man wieder das Gleiche zeigen. Usw. Also kann man gleich eine allgemeine Zahl n wählen und daraus auf n+1 schließen.
Vergleiche: $ [mm] =1/6\cdot{}n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2\cdot{}n+1)+(n+1)^{2}= [/mm] $
Nun wird gerechnet und gezeigt, dass hier nichts anderes raus kommt als der rechte Wert der Formel für unsere Quadratzahlensumme .
Der letzte Schritt von motormons fällt scheinbar vom Himmel. Das Gute bei der Induktion ist aber, dass man weiß, wo man hin möchte. Man kann also auch rückwärts rechnen. (Alternativ geht auch die Polynomdivision.)
Der Faktor [mm]\bruch {1}{6}*(n+1)[/mm] stimmt schon. Jetzt fehlen noch die restlichen beiden (n+2) und (2(n+1)+1). Hier kannst du leicht nachrechnen, dass $ [mm] 2n^{2}+7n+6=(n+2)(2n+3)=(n+2)(2(n+1)+1) [/mm] $ ist.
Vielleicht hilft dir das weiter
Grüße
Brinki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 So 29.10.2006 | | Autor: | Uwis |
Hi, danke für Eure Antworten. Habs jetzt verstanden, hatte die Induktionsvoraussetzung nicht bedacht und dann die Thermzerlegung nicht durchgeführt. Vielen Dank nochma an alle und einen schönen Sonntag noch.
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