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| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Differentialgleichungsproblem:
y*y''+3*y'²=0
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Guten Morgen zusammen. Ich habe ein Problem mit einer Differentialgleichung.
Ich schreibe einfach mal auf wie weit ich schoon gekommen bin. Vielleicht könnt ihr mir sagen ob ich auf dem richtigen Dampfer liege.
y'' = [mm] \bruch{-3y'²}{y}
[/mm]
Dies ist eine DGL folgender Form: y'' = f(y,y')
u * [mm] \bruch{du}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{-3u²}{y}
[/mm]
ein u fliegt raus, macht:
[mm] \bruch{du}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{-3u}{y}
[/mm]
Trennen der Variablen:
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \bruch{du}{-3u}
[/mm]
[mm] \integral{ \bruch{dy}{y} }= \integral{ \bruch{du}{-3u} }
[/mm]
ln|y| = - [mm] \bruch{ln|x|}{3} [/mm] + ln|C|
y = [mm] \bruch{C}{ \wurzel[3]{x}}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Vielen Dank für diejenigen die hier mal drüber schauen.
Gruß Jens
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Di 28.02.2006 | | Autor: | matrinx |
Schönen guten,
also wenn mans so lösen kann (kenn die Form nicht, sieht aber gut aus alles) dann auch richtig gerechnet. Fallunterscheidung ist angebracht für [mm]u=0=const[/mm]
und bei
> ln|y| = - [mm]\bruch{ln|x|}{3}[/mm] + ln|C|
>
> y = [mm]\bruch{C}{ \wurzel[3]{x}}[/mm]
sollte in der Wurzel auch [mm]|x|[/mm] stehen.
Grüsse
[mm]Martin[/mm]
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Hallo Jens,
Wenn man wissen will ob's richtig ist muß zumindest die Probe klappen. Deine Funktion erfüllt aber die DGL nicht.
> Lösen Sie folgendes Differentialgleichungsproblem:
> y*y''+3*y'²=0
>
> Guten Morgen zusammen. Ich habe ein Problem mit einer
> Differentialgleichung.
> Ich schreibe einfach mal auf wie weit ich schoon gekommen
> bin. Vielleicht könnt ihr mir sagen ob ich auf dem
> richtigen Dampfer liege.
>
> y'' = [mm]\bruch{-3y'²}{y}[/mm]
>
> Dies ist eine DGL folgender Form: y'' = f(y,y')
>
> u * [mm]\bruch{du}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{-3u²}{y}[/mm]
Hier wird substituiert: u(x(y))=y'(x(y))
> ein u fliegt raus, macht:
>
> [mm]\bruch{du}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{-3u}{y}[/mm]
>
> Trennen der Variablen:
>
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = [mm]\bruch{du}{-3u}[/mm]
>
> [mm]\integral{ \bruch{dy}{y} }= \integral{ \bruch{du}{-3u} }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ln|y| = - [mm]\bruch{ln|x|}{3}[/mm] + ln|C|
Hier bist Du einfach locker leicht  von (u,y) zu (y,x) übergegangen.
ln|y| = - [mm]\bruch{ln|u|}{3}[/mm] + ln|C| müsste dastehen.
Dann mußt Du noch die Substitution auflösen:
u(y)=y'(x(y)) - Ableitung der Umkehrfunktion war ja der Kehrwert
[mm] \bruch{1}{u(y)}=x'(y) [/mm] Beide Seiten integrieren ergibt:
x(y)= [mm] \integral{\bruch{1}{u(y)} dy}
[/mm]
Jetzt mußt Du noch die Umkehrfunktion zu x(y) finden und erhälst so y(x).
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo,
danke für die Antworten, ich hatte leider vorher keine Zeit mir die Antworten durchzulesen.
Also, einmal Rückfrage, welche Verfahren sind denn geläufiger? Oder was mache ich anders als du erwartet hast.
Und eine Frage noch... warum entsteht bei meinem Integral die Konstante gleich als ln|C| und nicht nur einfach C??
Ich habe das einfach dahin geschrieben weil ich das schon öfters gesehen habe, verstanden habe ich es aber leider noch nciht. Wäre super wenn mir einer erklären kann, warum da halt das ln auch auf die Konstante angewendet wird.
Danke und Gruß,
Jens
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Do 02.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
Rein formal entsteht beim Integrieren eine Integrationskonstante $+ \ C \ = \ const.$ .
Da aber auf die Gleichung im (über-)nächsten Schritt die e-Funktion angewendet wird, entstünde hieraus dann der Ausdruck [mm] $e^C$ [/mm] . Auch dieser Term ist ein konstanter Ausdruck, der dann ersetzt werden kann durch $k \ := \ [mm] e^C [/mm] \ = \ const.$ .
Um diese Umbenennung / Substitution zu umgehen, wird dann gleich als Integrationskonstante $+ \ [mm] \ln(C) [/mm] \ = \ const.$ eingeführt, denn auch dieses ist ja ein konstanter Wert. Und durch die anschließende Umformung verbleibt lediglich der Term $C_$ .
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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Hallo,
das hört sich dann für mich aber so an, als würde mir das frei stehen, ob ich das ln mitnehme oder ob ich im Ergebnis ein [mm] e^C [/mm] da stehen habe. Verfälscht das nicht mein Ergebnis? Also spätestens wenn ich C durch gegebene Randbedingungen berechnen möchte?
Gruß Jens
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Do 02.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
Ja, Du hast Recht: es ergibt sich ein anderer Wert für Dein $C_$ . Aber das interessiert ja nicht, sondern die Funktion, die am Ende herausspringt, soll ja die Anfangsbedingungen erfüllen. Und diese bleibt dieselbe ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Do 02.03.2006 | | Autor: | cagivamito |
Okay, danke dir.
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Hallo Jens,
Diese ln|c| ist eigentlich nur eine Abkürzung zum Betrag auflösen.
Angenommen Du nimmst nur C dann stünde da
ln|y| = - $ [mm] \bruch{ln|u|}{3} [/mm] $ + C | jetzt e hoch
[mm]|y|= e^C * |u|^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
Um die Betragsstriche beim y wegzubekommen müsste man jetzt 2 Fälle betrachten.
[mm]y= e^C * |u|^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
[mm]y= -e^C * |u|^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
Wenn man [mm]y=C * |u|^{-\bruch{1}{3}}[/mm] hat man gleich beide Fälle dabei.
Nur nochmal zur Erinnerung(Falls ich das noch nicht so klar geschrieben hatte)
Du hast jetzt
$ u(y) = [mm] \bruch{C}{ \wurzel[3]{|y|}} [/mm] $
ausgerechnet. Für y(x) bleibt noch etwas zu tun.
viele Grüße
mathemaduenn
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