Hilfe in letzter Minute < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=y^2(x-1)+x^2(x+1)
[/mm]
Bestimmen Sie die Sattelpunkte und die lokalen Extrema von f. Besitzt die Funktion f globale Extrema? |
In letzter Minute trifft das Problem ganz gut.
Serhat und ich (Florian) schreiben nämlich heute um 14:00 Uhr die Analysisklausur.
Beim durchblättern ist mir eben schreckhaft ins Auge gefallen, dass wir eine Aufgabe mit der Hesse-Matrix komplett vergessen haben.
Aber wir haben keine Ahnung wie das Funktioniert.
Ok! Was weis ich denn bisher über die Analysis.
Wenn f(x)=0 ist, gibt es entweder ein lokales Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
Wenn ich also f''(x) betrachte, kann ich mir eine Wertebereich-Tabelle machen wo ich + und - für steigend oder nicht steigend eintragen kann, und somit erkennen kann, ob es ein Sattelpunkt ist.
Ich hoffe ich habe das richtig in Erinnerung behalten.
Soweit ich weis setzt man in die Hesse-Matrix die Ableitung des Gradientens ein. Ich habekeine Ahnung wie das geht.
Der Gradient ist meineswissens aber dann:
[mm] grad(f)=\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}\\ \bruch{\partial f}{\partial y}}
[/mm]
Was ich also kann soweit ist:
[mm] f(x,y)=y^2(x-1)+x^2(x+1)=xy^2-y^2+x^3+x^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2xy+3x^2+2x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=2xy-2y
[/mm]
Der Gradient damit
[mm] grad(f)=\vektor{2xy+3x^2+2x \\ 2xy-2y}
[/mm]
Bitte helft uns: Wie stellt man jetzt die Hesse-Matrix auf?
Wie lese ich die geforderten Sachen aus der Hesse-Matrix ab.
DANKE, wenn ihr es noch rechtzeitig schafft, uns zu helfen! :)
Werde es mir aber auch so, auf jedenfall noch anschauen.
|
|
| |
|
> [mm]f(x,y)=y^2(x-1)+x^2(x+1)[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Sattelpunkte und die lokalen Extrema von
> f. Besitzt die Funktion f globale Extrema?
> In letzter Minute trifft das Problem ganz gut.
> Serhat und ich (Florian) schreiben nämlich heute um 14:00
> Uhr die Analysisklausur.
> Beim durchblättern ist mir eben schreckhaft ins Auge
> gefallen, dass wir eine Aufgabe mit der Hesse-Matrix
> komplett vergessen haben.
>
> Aber wir haben keine Ahnung wie das Funktioniert.
>
>
> Ok! Was weis ich denn bisher über die Analysis.
>
> Wenn f(x)=0 ist, gibt es entweder ein lokales Maximum,
> Minimum oder einen Sattelpunkt.
>
> Wenn ich also f''(x) betrachte, kann ich mir eine
> Wertebereich-Tabelle machen wo ich + und - für steigend
> oder nicht steigend eintragen kann, und somit erkennen
> kann, ob es ein Sattelpunkt ist.
Hallo,
was Du da gerade erzählst, trifft allerdings auf Funktionen zu, die nur von einer Variablen abhängen.
Bei Extremwertbestimmungen von Funktionen, die von zwei Variablen abhängen, stellst Du erst den Gradienten auf (partielle Ableitungen), setzt diesen =0 und berechnest aus den Gleichungen die kritischen Punkte.
Welcher Art die Punkte sind, ob Extrema oder Sattelpunkte erfährst Du oft aus der Hessematrix.
Die HM besteht aus den zweiten part. Ableitungen, also aus den part. Ableitungen des Gradienten.
[mm] H_f(x,y)=\pmat{ f_x_x(x,y)& f_x_y(x,y) \\ f_y_x(x,y) & f_y_y (x,y)}.
[/mm]
Die Hessematrix ist symmetrisch, also rechts oben = links unten. (Wenn nicht, hast Du etwas verkehrt gemacht.)
Für (x,y) setzt Du nun jeweils den kritischen Punkt ein.
So, und jetzt kommst's:
Ist die Det. der Hessematrix >0 und das linke obere Element >0, so hat man ein Minimum.
Ist die Det. der Hessematrix >0 und das linke obere Element <0, so hat man ein Maximum.
Ist die Det. der Hessematrix <0, so hat man einen Sattelpunkt.
Wenn die Hessematrix=0 ist, kann man's nicht anhand der Matrix entscheiden.
> Soweit ich weis setzt man in die Hesse-Matrix die Ableitung
> des Gradientens ein. Ich habekeine Ahnung wie das geht.
>
> Der Gradient ist meineswissens aber dann:
>
> [mm]grad(f)=\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}\\ \bruch{\partial f}{\partial y}}[/mm]
>
>
> Was ich also kann soweit ist:
>
> [mm]f(x,y)=y^2(x-1)+x^2(x+1)=xy^2-y^2+x^3+x^2[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=2xy+3x^2+2x[/mm]
Die part. Ableitung nach x ist verkehrt. Macht langsam. Löst doch die Klammern in f(x,y) auf, dann macht man nichts mehr verkehrt.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=2xy-2y[/mm]
>
> Der Gradient damit
>
> [mm]grad(f)=\vektor{2xy+3x^2+2x \\ 2xy-2y}[/mm]
>
|
|
|
| |
|
Wo ist denn die Ableitung falsch ?
Ich sehe den Fehler nicht.
Könntest du bitte noch ein Beispiel zu der Hessematrix aufschreiben, das wäre SEHR nett.
DANKE überhaupt erstmal...
Grüße in Klausurpanik,
Flo
|
|
|
| |
|
Hallo Flo!
Bei [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] solltet ihr erhalten: [mm] $f_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] \red{y^2}+3x^2+2x$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Danke, mir ist es auch grade aufgefallen.
|
|
|
| |
|
> Könntest du bitte noch ein Beispiel zu der Hessematrix
> aufschreiben,
Ich scheibe mal die Hessematrix zu Eurer Aufgabe auf:
Es ist ja
[mm] f_x(x,y) [/mm] = [mm] {y^2}+3x^2+2x [/mm]
[mm] f_y(x,y) [/mm] =2xy-2y
In der oberen Zeile der HM leitet man erst [mm] f_x [/mm] nach x ab und daneben dann nach y.
In der unteren Zeile der HM leitet man erst [mm] f_y [/mm] nach x ab und daneben dann nach y.
Das ergibt
[mm] H_f(x,y)=\pmat{ 6x+2 & 2y \\ 2y & 2x-2}.
[/mm]
Hier würdest Du jetzt die errechneten kritischen Punkte einsetzen.
Wenn ich nicht falsch gerechnet habe, sind die kritischen Punkte (0,0) und [mm] (-\bruch{2}{3},0).
[/mm]
Wenn Du noch die Nerven hast, kannst Du ja jetzt mal versuchen, die Art dieser krit. Punkte mit der Hessematrix und dem Kriterium, das ich vorhin schrieb, zu bestimmen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
[mm] f'_x=3x^2+2x+y^2
[/mm]
f'_y=2xy-2y
Gradienten Aufstellen:
[mm] grad(f)=\vektor{f'_x \\ f'_y}=\vektor{3x^2+2x+y^2 \\ 2xy-2y}=0
[/mm]
"Ich setze den Gradienten gleich 0."
f''_{xx}=6x+2
f''_{xy}=2y
f''_{yx}=2y
f''_{yy}=2x
Dann ist die Hessematrix H:
[mm] H=\vmat{ f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yx} }=\vmat{ 6x+2 & 2y \\ 2y & 2x }
[/mm]
Jetzt löse ich die beiden ersten Ableitungen von f.
[mm] f'_x=3x^2+2x+y^2
[/mm]
f'_y=2xy-2y
2xy-2y=0
2xy=2y //:2
xy=y //:y
x=1
=>
[mm] 3x^2+2x+y^2=0
[/mm]
[mm] 3*1^2+2*1+y^2=0
[/mm]
[mm] 3+2+y^2=0
[/mm]
[mm] y^2=-5
[/mm]
[mm] y=\wurzel{-5}
[/mm]
Ist das Richtig?
Dann einsetzen in:
[mm] H=\vmat{ f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yx} }=\vmat{ 6x+2 & 2y \\ 2y & 2x }=\vmat{ 6 & 2*\wurzel{-5} \\ 2*\wurzel{-5} & 2 }
[/mm]
[mm] \wurzel{-5} [/mm] ist nicht Real sagt Serhat.
Ich bin verwirrt, an dieser Stelle weis icht nicht mehr weiter.
|
|
|
| |
|
> [mm]f'_x=3x^2+2x+y^2[/mm]
> f'_y=2xy-2y
>
>
> Gradienten Aufstellen:
>
> [mm]grad(f)=\vektor{f'_x \\ f'_y}=\vektor{3x^2+2x+y^2 \\ 2xy-2y}=0[/mm]
>
> "Ich setze den Gradienten gleich 0."
>
> f''_{xx}=6x+2
> f''_{xy}=2y
>
> f''_{yx}=2y
> f''_{yy}=2x
Hallo,
bei [mm] f_y_y [/mm] ist ein Fehler, das muß 2x-2 heißen.
>
> Dann ist die Hessematrix H:
>
> [mm]H=\vmat{ f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yx} }=\vmat{ 6x+2 & 2y \\ 2y & 2x }[/mm]
>
> Jetzt löse ich die beiden ersten Ableitungen von f.
>
> [mm]f'_x=3x^2+2x+y^2[/mm]
> f'_y=2xy-2y
>
> 2xy-2y=0
> 2xy=2y //:2
> xy=y //:y
dies darfst Du nur für [mm] y\not=0 [/mm] tun. Für [mm] y\not=0 [/mm] erhältst Du
> x=1
Den Fall y=0 mußt Du dann auch noch betrachten.
> =>
>
> [mm]3x^2+2x+y^2=0[/mm]
> [mm]3*1^2+2*1+y^2=0[/mm]
> [mm]3+2+y^2=0[/mm]
> [mm]y^2=-5[/mm]
Leute!!! Es gibt keine reelle Zahl, welche ins Quadrat genommen eine negative Zahl liefert.
Für x=1 gibt's also kein passendes y.
Nun untersuchen wir den Fall y=0.
Einsetzen in [mm] 3x^2+2x+y^2=0 [/mm] ergibt
[mm] 0=3x^2+2x=x(3x+2) [/mm] ==> x=0 oder x=-2/3.
Somit hat man als kritische Punkte (0,0) und (-2/3,0).
> [mm]\wurzel{-5}[/mm] ist nicht Real sagt Serhat.
Damit, daß das keine reelle Zahl ist, hat der Serhat völlig recht. Die imaginären Lösungen interessieren hier nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke jetzt ist alles klar.
Boah, das nenne ich mal ne Last Minute-Action.
Ich schreibe heute Abend mal ob es geklappt hat.
Wir gehen jetzt zur Klausur.
|
|
|
| |
|
> Ich schreibe heute Abend mal ob es geklappt hat.
Ja, das wäre schön. Interessiert mich immer.
>
> Wir gehen jetzt zur Klausur.
Viel Erfolg!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
