Hinreichende Optimalitätsbed. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
Satz. Sei [mm] f:D\subset{\IR}\to\IR, \ \ f\in{C^3(D)}[/mm] eine Funktion. Sei [mm] x^{\*}\in{D} \ \text{mit} \ \ f'(x^{\*})=0 \ \text{und} \ f''(x^{\*})>0, \text{dann gilt:} \ \ x^{\*}[/mm] ist striktes lokales Minimum.
Hallo,
ich sitze gerade an einem Beweis zu obigem Satz. Der sieht so aus:
Beweis:
Sei [mm]f''(x^{\*})>0[/mm], dann exisitiert eine Umgebung U von [mm]x^{\*}[/mm] mit
[mm]\red{f''(x)>0 \ \ \forall{x}\in{U}}.[/mm] (1)
Entwicklung von f nach Taylor um [mm]x^{\*}[/mm] und Anwendung des Mittelwertsatzes (MWS) ergibt
[mm]f(x)=f(x^{\*})+\underbrace{f'(x^{\*})*(x-x^{\*})}_{=0}+\underbrace{\bruch{1}{2}*f''(\red{\tilde{x}})*(x-x^{\*})^2}_{>0}>f(x^{\*})[/mm] mit [mm]\red{\tilde{x}\in\left [ x,x^{\*} \right ]}[/mm]. (2)
Stellen, die unklar sind, habe ich rot markiert. Nun zu meinen Fragen:
Zu (1): Das ist noch okay. Wenn [mm]f''(x^{\*})>0[/mm], dann exisitiert natürlich eine (hinreichend kleine) Umgebung [mm](x^{\*}-\epsilon,x^{\*}+\epsilon)[/mm], sodass [mm]f''(x)>0[/mm] für [mm]x\in{(x^{\*}-\epsilon,x^{\*}+\epsilon)}[/mm].
Zu (2): Wieso (und vor allem wie???) wird hier der MWS verwendet. Es genügt doch, dass [mm]f''(x^{\*})>0[/mm]. Somit wäre der 3. Summand doch ebenfalls [mm]>0[/mm]. Vorausgesetzt, wir schließen aus, dass [mm]x=x^{\*}[/mm]. Sollte die Vorgehensweise korrekt sein, müsste [mm]\red{\tilde{x}\in\left [ x,x^{\*} \right )}[/mm] und nicht [mm]\red{\tilde{x}\in\left [ x,x^{\*} \right ]}[/mm] sein.
Für [mm]\red{\tilde{x}=x^{\*}[/mm] wäre [mm]f(x)=f(x^{\*})[/mm] und damit [mm]x^{\*}[/mm] nach Definition nur noch lokales Minimum.
In erster Linie geht es mir aber um die Anwendung des MWS. Wieso MWS und "wie" wurde er angewendet?
Vielen Dank.
Gruß
barsch
Sorry wegen der schlechten Formatierung, aber der Formeleditor wollte nicht so wie ich.
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Hallo
also das erste Frage hast du hinreichend beantwortet, das folgt aus der Stetigkeit von $f''(x)$.
Zur zweiten Frage:
> Satz. Sei [mm]f:D\subset{\IR}\to\IR, \ \ f\in{C^3(D)}[/mm] eine
> Funktion. Sei [mm]x^{\*}\in{D} \ \text{mit} \ \ f'(x^{\*})=0 \ \text{und} \ f''(x^{\*})>0, \text{dann gilt:} \ \ x^{\*}[/mm]
> ist striktes lokales Minimum.
>
> Hallo,
>
> ich sitze gerade an einem Beweis zu obigem Satz. Der sieht
> so aus:
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]f''(x^{\*})>0[/mm], dann exisitiert eine Umgebung U von
> [mm]x^{\*}[/mm] mit
>
> [mm]\red{f''(x)>0 \ \ \forall{x}\in{U}}.[/mm] (1)
>
> Entwicklung von f nach Taylor um [mm]x^{\*}[/mm] und Anwendung des
> Mittelwertsatzes (MWS) ergibt
>
Hier wird auf den Mittelwertsatz der Integralrechnung abgezielt. Normalerweise wird das Restglied des Taylorpolynomes ja angegeben durch [mm] $R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int\limits_{\tilde{x}}^{x}(x-\tilde{x})^{n}f^{(n+1)}(t) [/mm] dt$.
Jetzt kann man darauf den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden und man erhält die Darstellung des Restgliedes von Lagrange: [mm] $R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(x^{\star})}{(n+1)!}(x-\tilde{x})^{n+1}$ [/mm] mit [mm] $x^{\star} \in [\tilde{x},x]$
[/mm]
>
> [mm]f(x)=f(x^{\*})+\underbrace{f'(x^{\*})*(x-x^{\*})}_{=0}+\underbrace{\bruch{1}{2}*f''(\red{\tilde{x}})*(x-x^{\*})^2}_{>0}>f(x^{\*})[/mm]
> mit [mm]\red{\tilde{x}\in\left [ x,x^{\*} \right ]}[/mm]. (2)
>
> Stellen, die unklar sind, habe ich rot markiert. Nun zu
> meinen Fragen:
>
>
> Zu (1): Das ist noch okay. Wenn [mm]f''(x^{\*})>0[/mm], dann
> exisitiert natürlich eine (hinreichend kleine) Umgebung
> [mm](x^{\*}-\epsilon,x^{\*}+\epsilon)[/mm], sodass [mm]f''(x)>0[/mm] für
> [mm]x\in{(x^{\*}-\epsilon,x^{\*}+\epsilon)}[/mm].
> Zu (2): Wieso (und vor allem wie???) wird hier der MWS
> verwendet. Es genügt doch, dass [mm]f''(x^{\*})>0[/mm]. Somit wäre
> der 3. Summand doch ebenfalls [mm]>0[/mm]. Vorausgesetzt, wir
> schließen aus, dass [mm]x=x^{\*}[/mm]. Sollte die Vorgehensweise
> korrekt sein, müsste [mm]\red{\tilde{x}\in\left [ x,x^{\*} \right )}[/mm]
> und nicht [mm]\red{\tilde{x}\in\left [ x,x^{\*} \right ]}[/mm] sein.
>
> Für [mm]\red{\tilde{x}=x^{\*}[/mm] wäre [mm]f(x)=f(x^{\*})[/mm] und damit
> [mm]x^{\*}[/mm] nach Definition nur noch lokales Minimum.
>
Wieso? Du setzt doch für [mm] $\tilde{x}$ [/mm] ein únd nicht für $x$ !! Das hat ja mit $x$ nichts zu tun.
> In erster Linie geht es mir aber um die Anwendung des MWS.
> Wieso MWS und "wie" wurde er angewendet?
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> barsch
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> Sorry wegen der schlechten Formatierung, aber der
> Formeleditor wollte nicht so wie ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Do 04.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank. Jetzt wird einiges klarer.
Gruß
barsch
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