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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Monemi |
Hallöchen,
ich schwitze mal wieder über meinen Matheaufgaben und das in erster Linie über dieser Aufgabe:
Stellen Sie die Nieveaulinen von f(x,y) = [mm] 4x^2+y^2 [/mm] zu den Niveaus K = 0,1,4 und 16 dar.
Ich weiß, daß die Höhenlinien elliptische Kreise um den Nullpunkt werden und ich f in eine Ellipsengleichung umformen muß. ( nach x oder y mit c = Konst. )
Leider hab ich keinen blassen Schimmer wie.
Vielleicht könntet Ihr mir helfen????
Vielen lieben Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Monemi,
ich machemal das Beispiel zur Höhenlinie mit Niveau$1$.
$f(x,y)=1 [mm] \gdw 4x^2+y^2=1 \gdw \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$
[/mm]
Damit handelt es sich um eine ![[]](/images/popup.gif) Ellipse mit dem Mittelpunkt $M(0|0)$ und der $x$-Achse als Hauptachse, sowie [mm] $a=\frac{1}{2}$ [/mm] und $b=1$.
Den Rest schaffst du alleine.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Monemi |
... für Deine Antwort. Mir ist es nun etwas klarer und ich denk jetzt gehts!
Schönen Abend noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Monemi |
Guten Morgen,
so ganz klar war das nun doch noch nicht. Wie Ihr seht, bin ich mit mathematischen Unverständnis reich beschenkt wurden "grins"
Also ich hab das ganze jetzt aufgelöst und erhalte
y = f(x) [mm] =\wurzel{0,25-x^2}
[/mm]
y= f(x)= [mm] -\wurzel{0,25-x^2}
[/mm]
soweit erstmal richtig?
Nun zu meiner Frage: Ist das Niveau da schon einbezogen, bei ...
[mm] x^2/0,5^2 [/mm] + [mm] y^2/1^2 [/mm] =1
Ich dachte das = 1 bezieht sich generell auf die Ellipsengleichung oder kann ich auch sagen
[mm] y^2/0,5^2 [/mm] + [mm] y^2/1^2=c
[/mm]
Vielen Dank nochmal für Eure Hilfe, die ich bitter nötig habe.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Guten Morgen, Monemi
> Guten Morgen,
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> so ganz klar war das nun doch noch nicht. Wie Ihr seht, bin
> ich mit mathematischen Unverständnis reich beschenkt wurden
> "grins"
>
> Also ich hab das ganze jetzt aufgelöst und erhalte
>
>
> y = f(x) [mm]=\wurzel{0,25-x^2}[/mm]
>
> y= f(x)= [mm]-\wurzel{0,25-x^2}[/mm]
>
> soweit erstmal richtig?
>
> Nun zu meiner Frage: Ist das Niveau da schon einbezogen,
> bei ...
>
> [mm]x^2/0,5^2[/mm] + [mm]y^2/1^2[/mm] =1
>
> Ich dachte das = 1 bezieht sich generell auf die
> Ellipsengleichung oder kann ich auch sagen
>
> [mm]x^2/0,5^2[/mm] + [mm]y^2/1^2=c[/mm]
>
> Vielen Dank nochmal für Eure Hilfe, die ich bitter nötig
> habe.
>
So ganz verstehe ich dein Vorgehen nicht. Du schreibst, du müssest das auf eine Ellipsengleichung umstellen!? Wozu eigentlich? Man muss nichts müssen!
War die Aufgabe nicht so gestellt, dass du einige Niveaulinien darstellen sollt? In diesem Falle denke ich, dass unter "darstellen" gemeint ist: ein Zeichnung machen.
Schau die Funktion nochmals an:
[mm] $f(x,y)=4x^2+y^2$
[/mm]
Das ist eine Abbildung, die jedem Paar (x,y) aus [mm] $\IR^2$ [/mm] eine Reelle Zahl zuordnet. Das lässt sich bekanntlich recht einfach in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem darstellen: [mm] $z=4x^2+y^2$
[/mm]
Wäre die Funktion diese:
[mm] $z=x^2+y^2$
[/mm]
dann hättest du ein schönes Rotationsparaboloid. Also eine Parabel, die um ihre Achse rotiert.
Und was wären die Niveaulinien zu den Werten 0, 1, 4 und 16?
Nun, die Niveaulinie ist ja jene Linie in der x-y-Ebene, wo die Funktion eben einen fest vorgegebenen Wert annimmt.
Hier also [mm] $x^2+y^2=0$ [/mm] oder [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] oder [mm] $x^2+y^2=4$ [/mm] oder [mm] $x^2+y^2=16$
[/mm]
Konzentrische Kreise also. Das ist auch nicht erstaunlich, bedeutet das Niveau der Funktion ja lediglich, dass man parallel zur x-y-Ebene einem Schnitt durch den Grafen der Funktion macht. Und ein solcher Schnitt durch das Rotationsparaboloid ist eben ein Kreis.
Der Faktor 4 vor dem [mm] $x^2$ [/mm] bedeutet jetzt nur, dass das Paraboloid einfach in x-Richtung um den Faktor 2 gestaucht ist. Es ist ja
[mm] $4x^2+y^2=(2x)^2+y^2$
[/mm]
Somit sollte klar werden, dass die Schnitte zu Ellipsen werden, dessen Achsen im Verhältnis 1:2 sind.
(Übrigens: elliptische Kreise gibt es nicht. Entweder Ellipsen oder Kreise)
Ich würde also so vorgehen:
Beispiel Niveaulinie 4:
[mm] $4x^2+y^2=4$
[/mm]
Wenn du für $y_$ den Wert 0 einsetzt, bekommst du die Halbachse auf der x-Achse:
[mm] $4x^2+0^2=4$
[/mm]
[mm] $x=\pm [/mm] 1$
Und für $x=0$ entsprechend:
[mm] $4*0^2+y^2=4$
[/mm]
[mm] $y=\pm [/mm] 2$
Du kannst also einfach eine Ellipse zeichen durch die Punkte (0,2) und (1,0).
Das Gleiche kannst du jetzt sicher für die anderen Niveaulinien nachvollziehen.
Und noch zu deiner Zusatzfrage:
[mm] $x^2/0,5^2 [/mm] + [mm] y^2/1^2=c$
[/mm]
Das darf man natürlich so stehen lassen!
Man darf aber auch die ganze Gleichung noch durch $c$ dividieren:
[mm] $\bruch{x^2}{c*0,5^2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{c}=1$
[/mm]
Der "Vorteil" der Darstellung
[mm] $\bruch{x^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{b^2}=1$
[/mm]
ist nur der, dass man die Halbachsen auf einen Blick erkennen kann.
Hier also [mm] $\bruch{1}{2}*\wurzel{c}$ [/mm] und [mm] $\wurzel{c}$.
[/mm]
Aber ein Obligatorium, das auch so zu machen, besteht in gar keiner Weise! 
Die Methode, wie ich das oben gemacht habe (x=0 resp. y=0 setzen und nach der anderen Variablen auflösen), ist ebenso zweckdienlich!
Ich bin der Meinung, man sollte sich nie durch einen mathematischen Darstellungszwang gefangen und fesseln lassen! Wichtig sind die eigenen Gedanken dazu, nicht das sklavische Befolgen der Regeln!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Monemi |
Ersteinmal für den Tipp mit den elliptischen Kreisen "grins",
Und Du hast das gaaaaaaaaaanz prima erklärt und ich denk, so krieg ichs hin!
Liebe Grüße
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