Hölder-Ungleichung mit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
In einem Massraum [mm] (X,A,\mu) [/mm] seien mit 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty f_n [/mm] und f p-integrierbar [mm] \forall [/mm] n und [mm] f_n [/mm] konvergiere nach f in [mm] L_p [/mm] .
Zeige:
[mm] \int f_n*g d\mu \rightarrow \int [/mm] f*g [mm] d\mu
[/mm]
für alle q-integrierbaren Funktionen mit p und q konjugiert.
b)
Mit einer stetigen Funktion f: [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] sei F wie folgt definiert:
[mm] F(y)=\int_{[0,1]}f(x,y) [/mm] dx .
Man zeige, dass aus der Existenz einer stetigen partiellen Ableitung [mm] f_y [/mm] auf [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] folgt
F'(y)= [mm] \int_{[0,1]} f_y [/mm] (t,y) dt. |
a)
Aus der Hölder-Ungleichung folgt erstmal, dass
[mm] \int [/mm] |fg| [mm] d\mu [/mm] < [mm] \infty [/mm] also f*g integrierbar sowie [mm] f_n*g [/mm] integrierbar.
Ich sehe hier aber nicht, was die Majorante sein soll, um beispielsweise den Satz von Lebesgue anzuwenden? Zwar ist |2*f*g| immer noch integrierbar, aber es ist doch nicht garantiert, dass [mm] f_n [/mm] *g [mm] \le [/mm] |f * g| [mm] \forall [/mm] n und auch folgt aus [mm] L_p [/mm] - Konvergenz auch nicht die fast-sichere Konvergenz.
Weiss da vlt. jmd. Rat, wies hier weitergeht?
b)
Hier finde ich irgendwie keinen Ansatz... Weiss da ev. jmd., wie man anfangen soll?
Grüsse
Pablo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 15.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
$ [mm] |\int f_n\cdot{}g d\mu [/mm] - [mm] \int [/mm] f*g [mm] d\mu|=|\int (f_n-f)*g [/mm] d [mm] \mu| \le \int |f_n-f|*|g| [/mm] d [mm] \mu \le ||f_n-f||_p*||g||_q [/mm] $
Das erste [mm] \le [/mm] ist die Dreiecksungl. für Integrale, das zweite [mm] \le [/mm] ist Hölder.
zu b)
Zunächst sei M:= max [mm] \{f_y(x,y)|: x,y \in [0,1] \}
[/mm]
Sei [mm] y_0 \in [/mm] (0,1) und [mm] (y_n) [/mm] eine Folge mit [mm] y_n \ne [/mm] 0 und [mm] y_n \to [/mm] 0.
Setze
[mm] g_n(x):= \bruch{f(x,y_0+y_n)-f(x,y_0)}{y_n} [/mm] , x [mm] \in [/mm] [0,1].
Dann: [mm] g_n(x) \to f_y(x,y_0) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] und x [mm] \in [/mm] [0,1]
Zeige (etwa mit dem Mittelwertsatz), dass [mm] |g_n(x)| \le [/mm] M ist für x [mm] \in [/mm] [0,1] und n [mm] \in \IN.
[/mm]
Nun ist [mm] \bruch{F(y_0+y_n)-F(y_0)}{y_n}= \int_{[0,1]} g_n(x) [/mm] dx.
Jetzt Lebesgue !
Für [mm] y_0=0 [/mm] oder [mm] y_0=1 [/mm] kannst Du obigen Beweis in einfacher Weise modifizieren
FRED
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Danke.
(1)
Hier ist mir immer noch unklar, was ich als Majorante nehme. Klar, diese Ungleichung gilt für alle n aber ich kann mir nicht einfach eine integrierbare Majorante herausnehmen, die dann auch für alle n grösser gleich ist.
Wie finde ich also eine Majorante?
(2)
Nochmals:
[mm] g_n(x):= \frac{f(x,y_0+y_n)-f(x,y_0)}{y_n}
[/mm]
Ich muss nun zeigen, dass [mm] |g_n(x)| \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] n. Aber wie? Für n genug gross ist [mm] y_0+y_n \in [/mm] (0,1) ... (wenn [mm] y_0 \in [/mm] (0,1))? Aber [mm] g_n(1) [/mm] und [mm] g_n(0) [/mm] ??? Wie ist hier der Mittelwertsatz anzuwenden?
Ausserdem ist dann ja auch für [mm] y_0=1 y_0+y_n [/mm] > 1 und somit dann nicht mehr in diesem durch das Maximum beschränkten Teil?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 15.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke.
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> (1)
> Hier ist mir immer noch unklar, was ich als Majorante
> nehme.
Du brauchst keine Majorante !
> Klar, diese Ungleichung gilt für alle n aber ich
> kann mir nicht einfach eine integrierbare Majorante
> herausnehmen, die dann auch für alle n grösser gleich
> ist.
Verstehst Du diesen Satz ? Ich nicht.
Wo ist Dein Problem. Den Beweis hab ich Dir komplett vorgemacht.
>
> Wie finde ich also eine Majorante?
>
>
> (2)
> Hier verstehe ich leider nicht, wie ich den Mittelwertsatz
> der Differentialrechnung anwenden soll:
Sei x [mm] \in [/mm] [0,1]
Es ex. ein [mm] a_n [/mm] zwischen [mm] y_n [/mm] und [mm] y_0+y_n [/mm] mit:
[mm] g_n(x)=$ \frac{f(x,y_0+y_n)-f(x,y_0)}{y_n}=f_y(x,a_n) [/mm] $
Dann folgt: [mm] |g_n(x)| \le a_n
[/mm]
FRED
>
> [mm]f_y(y_0)=lim_{n \to \infty}[/mm] [
> [mm]\frac{f(x,y_0+y_n)-f(x,y_0)}{y_n}][/mm]
> Für n genug gross ist [mm]y_0+y_n[/mm] in (0,1) jedoch folgt doch
> alleine schon weil das Maximum existiert, dass [mm]|f_y(y_0)| \le[/mm]
> M [mm]\forall y_0 \in[/mm] (0,1) ?
>
> Ich verstehe auch nicht, warum das Argument nicht auch für
> [mm]y_0 \in[/mm] [0,1] so funktionieren soll, da wie gesagt, dieses
> Maximum existiert. Dann ist doch auch [mm]|f_y(1)|[/mm] sowie
> [mm]|f_y(0)| \le[/mm] M und die Majorante ist gefunden?
>
> Grüsse
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Hallo
Danke vielmals Fred. Dann ist Also
F'(y)= [mm] lim_{n \to \infty} \frac{\int_{[0,1]} f(x,y_0+y_n)dx - \int_{[0,1]} f(x,y_0) dx}{y_n} =lim_{n \to \infty} \frac{\int_{[0,1]} (f(x,y_0+y_n)-f(x,y_0) )dx}{y_n}=lim_{n \to \infty} g_n
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Ein kleines Detail aber was mich noch stutzig macht:
Mit [mm] a_n \in (y_0+y_n,y_0) [/mm] gilt mit dem Mittelwertsatz:
$ [mm] \frac{f(x,y_0+y_n)-f(x,y_0)}{y_n}=f_y(x,a_n) [/mm] $
Aber was ist wenn [mm] y_0 [/mm] = 1 ? Dann ist [mm] a_n [/mm] >1 ?
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Nimmt man dann einfach die Rückwärts- anstatt die Vorwärtsdifferenz oder was ist so dumm an der Frage?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 17.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 17.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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