Hohe Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo,
Ich habe eine Frage:
Wenn man von einer gegebenen Funktion die 50te. ABleitung an der STelle 0 bestimmen soll mit Hilfe der Taylorreihe. (da sonst kein SChema der Ableitung sichtbar ist ohne Hilfe der Taylorreihe), wie geht man da vor? |
Bestimme [mm] f^{(50)} [/mm] (0) von einer Funktion.
Ich bestimme die Taylorreihe von f an der anschlussstelle 0 und nun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo sissile!
Um welche Funktion handelt es sich denn konkret?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
Ich dachte ich kann das erklären^^
f(x) = [mm] x^2 [/mm] * sin(3x)
Taylorreihe an Anschlusstelle 0
[mm] x^2*\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k [/mm] * [mm] \frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1})
[/mm]
Bestimme [mm] f^{(50)} [/mm] (0)
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Hallo sissile,
> Ich dachte ich kann das erklären^^
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] * sin(3x)
>
> Taylorreihe an Anschlusstelle 0
> [mm]x^2*\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k[/mm] * [mm]\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1})[/mm]
>
> Bestimme [mm]f^{(50)}[/mm] (0)
Bestimme den Wert desjenigen Gliedes der Taylorreihe,
dessen Exponent 50 ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
> Hallo sissile,
>
> > Ich dachte ich kann das erklären^^
> >
> > f(x) = [mm]x^2[/mm] * sin(3x)
> >
> > Taylorreihe an Anschlusstelle 0
> > [mm]x^2*\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k[/mm] *
> [mm]\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1})[/mm]
> >
> > Bestimme [mm]f^{(50)}[/mm] (0)
>
>
> Bestimme den Wert desjenigen Gliedes der Taylorreihe,
> dessen Exponent 50 ist.
Hallo
[mm] x^2*(-1)^{50} [/mm] * [mm] \frac{3^{2*50+1}}{(2*50+1)!} x^{2*50+1})= x^2 [/mm] * [mm] \frac{3^{101}}{101!} [/mm] * [mm] x^{101}
[/mm]
So? Und nun? Das ist doch nur das Taylorpolinom für 50 nicht due ABleitung.
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Hallo sissile,.
> > Hallo sissile,
> >
> > > Ich dachte ich kann das erklären^^
> > >
> > > f(x) = [mm]x^2[/mm] * sin(3x)
> > >
> > > Taylorreihe an Anschlusstelle 0
> > > [mm]x^2*\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k[/mm] *
> > [mm]\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1})[/mm]
> > >
> > > Bestimme [mm]f^{(50)}[/mm] (0)
> >
> >
> > Bestimme den Wert desjenigen Gliedes der Taylorreihe,
> > dessen Exponent 50 ist.
> Hallo
> [mm]x^2*(-1)^{50}[/mm] * [mm]\frac{3^{2*50+1}}{(2*50+1)!} x^{2*50+1})= x^2[/mm]
> * [mm]\frac{3^{101}}{101!}[/mm] * [mm]x^{101}[/mm]
> So? Und nun? Das ist doch nur das Taylorpolinom für 50
> nicht due ABleitung.
>
Ich habe nicht geschrieben, daß für k=50 einzusetzen ist.
Wenn Du das [mm]x^{2}[/mm] in die Summe reinziehst,
dann ergibt sich der Exponent zu [mm]2*k+3[/mm].
Betrachte dasjenige ganzzahige [mm]k \ge 0[/mm], für das 2*k+3=50 ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
$ [mm] x^2\cdot{}\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k [/mm] $ * $ [mm] \frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1}) [/mm] $
[mm] =\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k [/mm] $ * $ [mm] \frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+3}) [/mm] $
> Betrachte dasjenige ganzzahige $ k [mm] \ge [/mm] 0 $, für das 2*k+3=50 ist.
k= 23,5 was ja nicht ganzzahlig ist.
Wie meinst du das also?
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Hallo sissile,
> [mm]x^2\cdot{}\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k[/mm] *
> [mm]\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+1})[/mm]
> [mm]=\sum_{k=0}^\infty ((-1)^k[/mm]
> $ * $ [mm]\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!} x^{2k+3})[/mm] $
>
> > Betrachte dasjenige ganzzahige [mm]k \ge 0 [/mm], für das 2*k+3=50
> ist.
> k= 23,5 was ja nicht ganzzahlig ist.
> Wie meinst du das also?
Das ist schon richtig, daß k nicht ganzzahlig ist.
Darauf kannst Du nun auf den Wert von [mm]f^{\left(50\right)}\left(0\right)[/mm] zu schliessen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
Ich steht grad auf der leitung..
Wenn ich [mm] f^{(45)} [/mm] (0)
ausrechnen will
2k+3= 45
=>k=21
Setzte ich in die Formel ein:
[mm] -\frac{3^{43}}{(43)!} x^{43}
[/mm]
Würde das dann der [mm] f^{(45)} [/mm] (0) entsprechen?
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Hallo sissile,
> Ich steht grad auf der leitung..
>
> Wenn ich [mm]f^{(45)}[/mm] (0)
> ausrechnen will
> 2k+3= 45
> =>k=21
> Setzte ich in die Formel ein:
> [mm]-\frac{3^{43}}{(43)!} x^{43}[/mm]
> Würde das dann der [mm]f^{(45)}[/mm]
> (0) entsprechen?
Der Koeffizient vor [mm]x^{43}[/mm] entspricht [mm]f^{(45)}\left(0\right)[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
okay. Ich hätte dazu noch paar (wahrscheinlich elementare) Fragen, aber ich stelle sie mal:
1) Ich verstehe nicht wieso man das k suchen muss für das 2k+3=..
gilt. Wieso löst das unsere Aufgabe?
2) Wieso muss k ganzzahlig sein?
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Hallo sissile,
> okay. Ich hätte dazu noch paar (wahrscheinlich elementare)
> Fragen, aber ich stelle sie mal:
>
> 1) Ich verstehe nicht wieso man das k suchen muss für das
> 2k+3=..
> gilt. Wieso löst das unsere Aufgabe?
>
Weil 2k+3 den Exponenten in der Taylorreihe angibt.
> 2) Wieso muss k ganzzahlig sein?
Weil die Taylorreihe nur ganzzahlige x-Potenzen besitzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
ah, okay so langsam geht jetzt das Licht an ;)
> Wieso muss k ganzzahlig sein?
> Weil die Taylorreihe nur ganzzahlige x-Potenzen besitzt.
Okay der Punkt existiert also gar nicht in der Taylorreihe.
Wenn ich mir die ungerade funktion anschaue, würde ich tippen dass hier dann die ableitung 0 ist, aber konkret beweisen kann ich das nicht.
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Hallo sissile,
> ah, okay so langsam geht jetzt das Licht an ;)
>
> > Wieso muss k ganzzahlig sein?
> > Weil die Taylorreihe nur ganzzahlige x-Potenzen
> besitzt.
> Okay der Punkt existiert also gar nicht in der
> Taylorreihe.
> Wenn ich mir die ungerade funktion anschaue, würde ich
> tippen dass hier dann die ableitung 0 ist, aber konkret
> beweisen kann ich das nicht.
Es gibt doch kein ganzzahliges k, so daß 2*k+3=50 ist.
Demnach ist der zugehörige Koeffizient 0.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
ah, danke ;)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] die Taylorreihe einer Funktion f, so gilt:
$ [mm] f^{(n)}(0)=n!*a_n$ [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
FRED
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