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Hohe Potenzen Modulo rechnen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 So 16.11.2014
Autor: pauly

Aufgabe
Berechne 647^689 mod 689

Hallo liebe Community!

Kann mir einer bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
Wie kann ich die oben genannte Rechnung am "einfachsten" berechnen?
Mit z.B. 20^11 mod 689 hab ich kein Problem..
aber 647^689 mod 689 sind schon enorme Zahlen. Diese dann aufzuteilen, würde doch ewig dauern. Kann mir einer bitte einen Tipp geben.

Also für 20^11 mod 689, hab ich das so gelöst:


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

20^11 = 20 * [mm] (20^2)^5 [/mm]
= 20 [mm] *(400)^5 [/mm]
= [mm] 20*400(400^2)^2 [/mm]
=421 * [mm] 152^2 [/mm]
=421 * 367
=171   also is der Rest 171


        
Bezug
Hohe Potenzen Modulo rechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 So 16.11.2014
Autor: Teufel

Hi!

Du kannst im Exponenten modulo [mm] \varphi(689) [/mm] rechnen, wobei [mm] \varphi [/mm] die Eulersche Phifunktion ist. Ist dir das geläufig? Dann ist der Exponent wieder kleiner.

Bezug
        
Bezug
Hohe Potenzen Modulo rechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 16.11.2014
Autor: abakus

Hallo,
du kannst auch 689 in Primfaktoren zerlegen (53*13) und mit simultanen Kongruenzen mod 53 und mod 13 arbeiten.
Dabei kann der kleine Fermat hilfreich sein.

Bezug
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