www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Analysis > Hohe Potenzen in  \IC
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis" - Hohe Potenzen in \IC
Hohe Potenzen in \IC < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hohe Potenzen in \IC: in Polarform
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Sa 12.11.2005
Autor: Reaper

Hallo....
geg.: Man berechne klassisch und in Polarform:

z= ( (1 +  [mm] \wurzel{3}*i) [/mm] / (2+2i) [mm] )^{3} [/mm]

klassisch ists kein Problem (hoffentlich) ...da kommt 1/2 + i/2 = z heraus

in Polarform bin ich das Ganze so angegangen:

1 +  [mm] \wurzel{3}*i [/mm] in Polarkoordinaten :

|z | =  [mm] \wurzel{1² + \wurzel{3} ²} [/mm]
|z| = 2
a = |z| * cos ( [mm] \delta) [/mm]
1 = 2 * cos ( [mm] \delta) [/mm]

[mm] \delta [/mm] = arccos (1/2) = 60 Grad =  [mm] \pi [/mm] / 3
So...und genau um die Grad gehts....wie kann ich ohne Taschenrechner
wissen dass arccos (1/2) = 60 Grad =  [mm] \pi [/mm] / 3 lautet.....

Bei 2 + 2i:

|z| =  [mm] \wurzel{8} [/mm]
2 = 2 * cos ( [mm] \delta) [/mm]
[mm] \delta [/mm] = arccos (2/2) = 0

...wie kann ich die Grad speziell beim ersten Term 1 +  [mm] \wurzel{3}*i [/mm] ohne
TI92 wissen?

So nun habe ich also 2 komplexe Zahlen in Polarform dragestellt:

[mm] z_{1} [/mm] = 2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin  [mm] \pi/3 [/mm] )
[mm] z_{2} [/mm] =  [mm] \wurzel{8} [/mm] (cos  0 + i*sin  0 )


2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin  [mm] \pi/3 )^{3} [/mm] = 2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin*3*  [mm] \pi/3 [/mm] )
[mm] \wurzel{8} [/mm] (cos  0 + i*sin  0 ) ^{3} = [mm] \wurzel{8}(cos [/mm]  0 + i*3*sin  0 ) = [mm] \wurzel{8} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm]

[mm] z_{1} [/mm] = 2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin*3*  [mm] \pi/3 [/mm] ) =  2(cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i*sin*  [mm] \pi [/mm] ) =  
2(cos  [mm] \pi/3) [/mm]

Also 2(cos  [mm] \pi/3)/\wurzel{8} [/mm] .....und was fang ich jetzt mit dem Term an
um eine anständige komplexe Zahl herauszubekommen?

mfg,
Hannes

        
Bezug
Hohe Potenzen in \IC: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Sa 12.11.2005
Autor: Leopold_Gast

So...und genau um die Grad gehts....wie kann ich ohne Taschenrechner
wissen dass arccos (1/2) = 60 Grad =  [mm]\pi[/mm] / 3 lautet.....

Es gibt Dinge, die sollte man wissen. Die Frage ist so ähnlich wie

"Wie kann ich ohne Taschenrechner wissen, daß die Wurzel von 81 gerade 9 ist?"

Und hier geht es um Elementargeometrie. Tip: Halbiere ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 und verwende die Definiton von Sinus/Cosinus im rechtwinkligen Dreieck.
Bezug
                
Bezug
Hohe Potenzen in \IC: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Mo 14.11.2005
Autor: Reaper

Hallo....ach ja ich bin draufgekommen dass die komplexen Zahlen gar nicht stimmen...richtig ist:

[mm] z_{1} [/mm] = 2* (cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i sin  [mm] \pi/3) [/mm]
[mm] z_{2} [/mm] =  [mm] \wurzel{8}* [/mm] (cos  [mm] \pi/4 [/mm] + i sin  [mm] \pi/4) [/mm]

So und was mach ich jetzt muss ich:
[mm] z_{1} [/mm] =  (2* (cos  [mm] \pi/3 [/mm] + i sin  [mm] \pi/3))^{3} [/mm] = 8 * cos  [mm] \pi/3 [/mm]
[mm] z_{2} [/mm] =  [mm] (\wurzel{8}* [/mm] (cos  [mm] \pi/4 [/mm] + i sin  [mm] \pi/4))^{3} [/mm] =  
[mm] \wurzel{8}^{3}*(cos \pi/4 [/mm] + i sin 3* [mm] \pi/4) [/mm]

So und wie rechne ich jetzt [mm] z_{1} [/mm] / [mm] z_{2} [/mm] ?

mfg,
Hannes

Bezug
                        
Bezug
Hohe Potenzen in \IC: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mo 14.11.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Hannes!


> [mm]z_{1}[/mm] = 2* (cos  [mm]\pi/3[/mm] + i sin  [mm]\pi/3)[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] =  [mm]\wurzel{8}*[/mm] (cos  [mm]\pi/4[/mm] + i sin  [mm]\pi/4)[/mm]

[ok]


> So und was mach ich jetzt muss ich:
> [mm]z_{1}[/mm] =  (2* (cos  [mm]\pi/3[/mm] + i sin  [mm]\pi/3))^{3}[/mm] = 8 * cos  [mm]\pi/3[/mm]

[notok] Hier fehlt doch noch was ...

[mm] $z_1^3 [/mm] \ = \ [mm] 2^3 [/mm] * [mm] \left[\cos\left(\bruch{\pi}{3}*3\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{3}*3\right)\right] [/mm] \ = \ 8 * [mm] \left[\cos\left(\pi\right) + i*\sin\left(\pi\right)\right]$ [/mm]


> [mm]z_{2}[/mm] =  [mm](\wurzel{8}*[/mm] (cos  [mm]\pi/4[/mm] + i sin  [mm]\pi/4))^{3}[/mm] =  [mm]\wurzel{8}^{3}*(cos \pi/4[/mm] + i sin 3* [mm]\pi/4)[/mm]

[notok] Fast richtig!

Auch beim [mm] $\cos$ [/mm] muss es natürlich [mm] $\bruch{\red{3}\pi}{4}$ [/mm] heißen. Für [mm] $\wurzel{8}^3$ [/mm] kann man auch schreiben [mm] $16*\wurzel{2}$ [/mm] .

Und es handelt sich auch um [mm] $z_2^{\red{3}}$ [/mm] ...


  
> So und wie rechne ich jetzt [mm]z_{1}[/mm] / [mm]z_{2}[/mm] ?

Hier verwenden wir ebenfalls die Moivre-Formel:

[mm] $\bruch{z_1}{z_2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_1 * \left[\cos\left(\varphi_1\right) + i*\sin\left(\varphi_1\right)\right]}{r_2 * \left[\cos\left(\varphi_2\right) + i*\sin\left(\varphi_2\right)\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_1}{r_2} [/mm] * [mm] \left[\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right) + i*\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right]$ [/mm]


[guckstduhier]  .  .  .  .   []Rechnen mit komplexen Zahlen


Gruß
Loddar

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]