Holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 14.06.2012 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | | Es ist [mm] u(v,x):=x^3-2xy-3xy^2. [/mm] Gestalten sie [mm] v:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] so dass f = u+iv holomorph ist. |
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}}\bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=\limes_{z\rightarrow z_{0}}\bruch{x^3-2xy-3xy^2+iv(x,y)-x_{0}^3+2x_{0}y_{0}+3x_{0}y_{0}^2-iv(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}+iy-iy_{0}}
[/mm]
... wenn ich einfach mal einsetze. Allerdings weiß ich nicht, wie ich von hier aus weiter vorgehen soll. Hat jemand einen Tipp für mich, wie man dieses Problem am besten angeht?
Gruß und danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 14.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es ist [mm]u(v,x):=x^3-2xy-3xy^2.[/mm] Gestalten sie [mm]v:\IR^2\to\IR,[/mm]
> so dass $f = u+iv$ holomorph ist.
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}}\bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=\limes_{z\rightarrow z_{0}}\bruch{x^3-2xy-3xy^2+iv(x,y)-x_{0}^3+2x_{0}y_{0}+3x_{0}y_{0}^2-iv(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}+iy-iy_{0}}[/mm]
>
> ... wenn ich einfach mal einsetze. Allerdings weiß ich
> nicht, wie ich von hier aus weiter vorgehen soll. Hat
> jemand einen Tipp für mich, wie man dieses Problem am
> besten angeht?
Tipp: Benutze die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für u und v !
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 14.06.2012 | | Autor: | Blubie |
Stimmt :) Die Cauchy-Rieman-Gleichungen gelten ja in beiden Richtungen, d.h. wenn die Gleichungen erfüllt sind und die partiellen ableitungen existieren, dann ist f komplex differenzierbar (bezogen auf ein [mm] z_{0}). [/mm] Aber woher weiß ich dann, dass f auch holomorph ist? Folgt das direkt darau, dass [mm] \IR [/mm] offen ist? bzw. gibt es beispiele für nicht holomorphe aber komplex differenzierbare funktionen auf offenen Mengen?
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Hallo Blubie,
> Stimmt :) Die Cauchy-Rieman-Gleichungen gelten ja in beiden
> Richtungen, d.h. wenn die Gleichungen erfüllt sind und die
> partiellen ableitungen existieren, dann ist f komplex
> differenzierbar (bezogen auf ein [mm]z_{0}).[/mm] Aber woher weiß
> ich dann, dass f auch holomorph ist? Folgt das direkt
> darau, dass [mm]\IR[/mm] offen ist? bzw. gibt es beispiele für
> nicht holomorphe aber komplex differenzierbare funktionen
> auf offenen Mengen?
Komplex differenzierbare Funktionen nennt man holomorph.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, Blubie,
> Stimmt :) Die Cauchy-Rieman-Gleichungen gelten ja in beiden
> Richtungen, d.h. wenn die Gleichungen erfüllt sind und die
> partiellen ableitungen existieren, dann ist f komplex
> differenzierbar (bezogen auf ein [mm]z_{0}).[/mm]
Stimmt nicht. Aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt [mm] $z_0$ [/mm] und der Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen folgt nämlich nicht, daß $f$ komplex differenzierbar ist.
Die partiellen Ableitungen müssen zusätzlich in einer ganzen Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] existieren und dort stetig sein.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Blubie |
Deswegen ja meine Frage: Kann man die Holomorphie folgern, wenn der Definitionsbereich [mm] \IR^2 [/mm] ist? bzw. offen ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Blubie |
Deswegen ja meine Frage: Kann man die Holomorphie folgern, wenn der Definitionsbereich $ [mm] \IR^2 [/mm] $ ist? bzw. offen ist? Du hast meine halbe Frage weggeschnitten :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Fr 15.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Deswegen ja meine Frage: Kann man die Holomorphie folgern,
> wenn der Definitionsbereich [mm]\IR^2[/mm] ist? bzw. offen ist? Du
> hast meine halbe Frage weggeschnitten :)
Stellen wirs klar:
Sei D [mm] \subseteq \IC [/mm] offen , f:D [mm] \to \IC [/mm] eine Funktion, u=Re(f), v=Im(f) und [mm] z_0 \in [/mm] D [mm] (z_0=x_0+iy_0 [/mm] mit [mm] x_0,y_0 \in \IR)
[/mm]
f heißt auf D holomorph, wenn f in jedem z [mm] \in [/mm] D komplex differenzierbar ist.
FRED
Dann gilt:
f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar [mm] \gdw [/mm] u und v sind in [mm] (x_0,y_0) [/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in [mm] (x_0,y_0) [/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, FRED,
> Dann gilt:
>
> f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
>
Jetzt verunsicherst Du mich! Ich glaube mich zu erinnern, daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig differenzierbar sein müssen.
Aber ich kann mich auch täuschen.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Fr 15.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, FRED,
>
> > Dann gilt:
> >
> > f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> > [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> > [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
> >
>
> Jetzt verunsicherst Du mich!
Hallo Wolfgang,
das tut mir leid.
> Ich glaube mich zu erinnern,
> daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig
> differenzierbar sein müssen.
Nein, das muß man nicht fordern. Schau Dir mal Satz I,5.3 in Freitag-Busam "Funktionentheorie" an
Gruß FRED
>
> Aber ich kann mich auch täuschen.
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, FRED,
> >
> > > Dann gilt:
> > >
> > > f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> > > [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> > > [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
> > >
> >
> > Jetzt verunsicherst Du mich!
>
>
> Hallo Wolfgang,
>
> das tut mir leid.
>
> > Ich glaube mich zu erinnern,
> > daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig
> > differenzierbar sein müssen.
>
> Nein, das muß man nicht fordern. Schau Dir mal Satz I,5.3
> in Freitag-Busam "Funktionentheorie" an
Ja, Du hast recht: Es reicht, wenn $f$ in $z$ total differenzierbar ist (als Funktion von [mm] $\IR^2 \to \IR^2$.) [/mm] Die Stetigkeit der Ableitung muß nicht gefordert werden.
Anders sieht es mit den partiellen Ableitungen von $u$ und $v$ aus. Hier muß tatsächlich die Stetigkeit der partiellen Ableitungen gefordert werden. Nur dann folgt nämlich die totale Differenzierbarkeit von $u$ und $v$ und hieraus die von $f$. (Dies folgt allgemein für jede Funktion von [mm] $D\subset\IR^n\to\IR^m$, [/mm] $D$ offen.)
Vielen Dank für die Klarstellung!
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:27 Sa 16.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, FRED,
> > >
> > > > Dann gilt:
> > > >
> > > > f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
> > > >
> > >
> > > Jetzt verunsicherst Du mich!
> >
> >
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > das tut mir leid.
> >
> > > Ich glaube mich zu erinnern,
> > > daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig
> > > differenzierbar sein müssen.
> >
> > Nein, das muß man nicht fordern. Schau Dir mal Satz I,5.3
> > in Freitag-Busam "Funktionentheorie" an
>
> Ja, Du hast recht: Es reicht, wenn [mm]f[/mm] in [mm]z[/mm] total
> differenzierbar ist (als Funktion von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm].) Die
> Stetigkeit der Ableitung muß nicht gefordert werden.
>
> Anders sieht es mit den partiellen Ableitungen von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm]
> aus. Hier muß tatsächlich die Stetigkeit der partiellen
> Ableitungen gefordert werden. Nur dann folgt nämlich die
> totale Differenzierbarkeit von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] und hieraus die von
> [mm]f[/mm]. (Dies folgt allgemein für jede Funktion von
> [mm]D\subset\IR^n\to\IR^m[/mm], [mm]D[/mm] offen.)
>
> Vielen Dank für die Klarstellung!
>
> Gruß,
> Wolfgang
Hallo Wolfgang,
ich kann Dir nicht folgen ....
Ist D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und [mm] f=(f_1,...,f_m):D \to \IR^m [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D, so gilt:
f ist in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar [mm] \gdw [/mm] alle [mm] f_j [/mm] sind in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar.
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, FRED,
> > > >
> > > > > Dann gilt:
> > > > >
> > > > > f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> > > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> > > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
> > > > >
> > > >
> > > > Jetzt verunsicherst Du mich!
> > >
> > >
> > > Hallo Wolfgang,
> > >
> > > das tut mir leid.
> > >
> > > > Ich glaube mich zu erinnern,
> > > > daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig
> > > > differenzierbar sein müssen.
> > >
> > > Nein, das muß man nicht fordern. Schau Dir mal Satz I,5.3
> > > in Freitag-Busam "Funktionentheorie" an
> >
> > Ja, Du hast recht: Es reicht, wenn [mm]f[/mm] in [mm]z[/mm] total
> > differenzierbar ist (als Funktion von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm].) Die
> > Stetigkeit der Ableitung muß nicht gefordert werden.
> >
> > Anders sieht es mit den partiellen Ableitungen von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm]
> > aus. Hier muß tatsächlich die Stetigkeit der partiellen
> > Ableitungen gefordert werden. Nur dann folgt nämlich die
> > totale Differenzierbarkeit von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] und hieraus die von
> > [mm]f[/mm]. (Dies folgt allgemein für jede Funktion von
> > [mm]D\subset\IR^n\to\IR^m[/mm], [mm]D[/mm] offen.)
> >
> > Vielen Dank für die Klarstellung!
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
>
> Hallo Wolfgang,
>
> ich kann Dir nicht folgen ....
Das tut nun mir leid! 
>
> Ist D eine offene Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]f=(f_1,...,f_m):D \to \IR^m[/mm]
> eine Funktion und [mm]x_0 \in[/mm] D, so gilt:
>
> f ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] alle [mm]f_j[/mm] sind in
> [mm]x_0[/mm] total differenzierbar.
Ja!
Ich meinte:
[mm] $\,f$ [/mm] ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] jedes [mm]f_j[/mm] ist in einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen sind stetig in [mm] $x_0$.
[/mm]
Korrektur: Es muß
[mm] $\,f$ [/mm] ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm] $\red\Leftarrow$ [/mm] jedes [mm]f_j[/mm] ist in einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen sind stetig in [mm] $x_0$.
[/mm]
heißen, wie FRED feststellte.
Auf die zusätzlich zu fordernde Stetigkeit wollte ich in meiner Mitteilung Stimmt nicht an Bluebie hinweisen.
Gruß Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Sa 16.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, FRED,
> > > > >
> > > > > > Dann gilt:
> > > > > >
> > > > > > f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> > > > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> > > > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Jetzt verunsicherst Du mich!
> > > >
> > > >
> > > > Hallo Wolfgang,
> > > >
> > > > das tut mir leid.
> > > >
> > > > > Ich glaube mich zu erinnern,
> > > > > daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig
> > > > > differenzierbar sein müssen.
> > > >
> > > > Nein, das muß man nicht fordern. Schau Dir mal Satz I,5.3
> > > > in Freitag-Busam "Funktionentheorie" an
> > >
> > > Ja, Du hast recht: Es reicht, wenn [mm]f[/mm] in [mm]z[/mm] total
> > > differenzierbar ist (als Funktion von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm].) Die
> > > Stetigkeit der Ableitung muß nicht gefordert werden.
> > >
> > > Anders sieht es mit den partiellen Ableitungen von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm]
> > > aus. Hier muß tatsächlich die Stetigkeit der partiellen
> > > Ableitungen gefordert werden. Nur dann folgt nämlich die
> > > totale Differenzierbarkeit von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] und hieraus die von
> > > [mm]f[/mm]. (Dies folgt allgemein für jede Funktion von
> > > [mm]D\subset\IR^n\to\IR^m[/mm], [mm]D[/mm] offen.)
> > >
> > > Vielen Dank für die Klarstellung!
> > >
> > > Gruß,
> > > Wolfgang
> >
> >
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > ich kann Dir nicht folgen ....
>
> Das tut nun mir leid!
>
> >
> > Ist D eine offene Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]f=(f_1,...,f_m):D \to \IR^m[/mm]
> > eine Funktion und [mm]x_0 \in[/mm] D, so gilt:
> >
> > f ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] alle [mm]f_j[/mm] sind in
> > [mm]x_0[/mm] total differenzierbar.
>
> Ja!
>
> Ich meinte:
>
> [mm]\,f[/mm] ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] jedes [mm]f_j[/mm] ist in
> einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] partiell differenzierbar und die
> partiellen Ableitungen sind stetig in [mm]x_0[/mm].
Hallo Wolfgang,
" [mm] \gdw [/mm] " ist falsch ! Es gilt nur " [mm] \Leftarrow [/mm] "
Beispiel: n=1.
[mm] f(x)=x^{3/2}sin(1/x), [/mm] falls x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0)=0.
f ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar, f' ist aber in [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig.
FRED
>
> Auf die zusätzlich zu fordernde Stetigkeit wollte ich in
> meiner Mitteilung Stimmt nicht
> an Bluebie hinweisen.
>
> Gruß Wolfgang
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Hallo, FRED,
> > > > > >
> > > > > > > Dann gilt:
> > > > > > >
> > > > > > > f ist in [mm]z_0[/mm] komplex differenzierbar [mm]\gdw[/mm] u und v sind in
> > > > > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] (reell) differenzierbar und erfüllen in
> > > > > > > [mm](x_0,y_0)[/mm] die Cauchy-Riemannschen Dgln.
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Jetzt verunsicherst Du mich!
> > > > >
> > > > >
> > > > > Hallo Wolfgang,
> > > > >
> > > > > das tut mir leid.
> > > > >
> > > > > > Ich glaube mich zu erinnern,
> > > > > > daß u und v nicht nur differenzierbar sondern sogar stetig
> > > > > > differenzierbar sein müssen.
> > > > >
> > > > > Nein, das muß man nicht fordern. Schau Dir mal Satz I,5.3
> > > > > in Freitag-Busam "Funktionentheorie" an
> > > >
> > > > Ja, Du hast recht: Es reicht, wenn [mm]f[/mm] in [mm]z[/mm] total
> > > > differenzierbar ist (als Funktion von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm].) Die
> > > > Stetigkeit der Ableitung muß nicht gefordert werden.
> > > >
> > > > Anders sieht es mit den partiellen Ableitungen von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm]
> > > > aus. Hier muß tatsächlich die Stetigkeit der partiellen
> > > > Ableitungen gefordert werden. Nur dann folgt nämlich die
> > > > totale Differenzierbarkeit von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] und hieraus die von
> > > > [mm]f[/mm]. (Dies folgt allgemein für jede Funktion von
> > > > [mm]D\subset\IR^n\to\IR^m[/mm], [mm]D[/mm] offen.)
> > > >
> > > > Vielen Dank für die Klarstellung!
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Wolfgang
> > >
> > >
> > > Hallo Wolfgang,
> > >
> > > ich kann Dir nicht folgen ....
> >
> > Das tut nun mir leid!
> >
> > >
> > > Ist D eine offene Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]f=(f_1,...,f_m):D \to \IR^m[/mm]
> > > eine Funktion und [mm]x_0 \in[/mm] D, so gilt:
> > >
> > > f ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] alle [mm]f_j[/mm] sind in
> > > [mm]x_0[/mm] total differenzierbar.
> >
> > Ja!
> >
> > Ich meinte:
> >
> > [mm]\,f[/mm] ist in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar [mm]\gdw[/mm] jedes [mm]f_j[/mm] ist in
> > einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] partiell differenzierbar und die
> > partiellen Ableitungen sind stetig in [mm]x_0[/mm].
>
>
> Hallo Wolfgang,
>
> " [mm]\gdw[/mm] " ist falsch ! Es gilt nur " [mm]\Leftarrow[/mm] "
>
> Beispiel: n=1.
>
> [mm]f(x)=x^{3/2}sin(1/x),[/mm] falls x [mm]\ne[/mm] 0 und f(0)=0.
>
> f ist auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar, f' ist aber in [mm]x_0=0[/mm] nicht
> stetig.
Ja, natürlich!
Danke,
Wolfgang
>
> FRED
> >
> > Auf die zusätzlich zu fordernde Stetigkeit wollte ich in
> > meiner Mitteilung Stimmt nicht
> > an Bluebie hinweisen.
> >
> > Gruß Wolfgang
> >
>
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|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Blubie |
Danke :)
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