Holomorphe Funktion konstant < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]G \subset \IC [/mm] ein Gebiet und f=u+iv eine holomorphe Funktion auf G. Zeigen Sie: Gilt [mm]u=v^2[/mm] oder [mm]v=u^2[/mm] auf G, so muß f auf G konstant sein. |
Hallo!
Also da f holomorph ist gelten die C-R-Dglen: [mm]u_x=v_y,u_y=-v_x[/mm]. Die sind alle nicht "0", da f ja sonst schon konstant wäre. Sei [mm]u=v^2[/mm], dann ist [mm]f'=u_x-iu_y=2vv_x-2ivv_y=v_y+iv_x[/mm]. Das kann man jetzt bestimmt geschickt umformen, aber ich komme nicht drauf. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Grüße
couldbeworse
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> [mm]G \subset \IC[/mm] ein Gebiet und f=u+iv eine holomorphe
> Funktion auf G. Zeigen Sie: Gilt [mm]u=v^2[/mm] oder [mm]v=u^2[/mm] auf G, so
> muß f auf G konstant sein.
> Hallo!
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> Also da f holomorph ist gelten die C-R-Dglen:
> [mm]u_x=v_y,u_y=-v_x[/mm]. Die sind alle nicht "0", da f ja sonst
> schon konstant wäre. Sei [mm]u=v^2[/mm], dann ist
> [mm]f'=u_x-iu_y=2vv_x-2ivv_y=v_y+iv_x[/mm]. Das kann man jetzt
> bestimmt geschickt umformen, aber ich komme nicht drauf.
> Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
>
Aus [mm] u=v^2 [/mm] folgt mit C-R
[mm] v_y=(v^2)_x=2vv_x=-2vu_y=-2v(v^2)_y=-4v^2v_y,
[/mm]
d.h. es gilt entweder [mm] v_y=0 [/mm] oder [mm] -4v^2=1
[/mm]
> Grüße
> couldbeworse
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Vielen Dank, damit ist alles klar!
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