Holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mo 20.02.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IC [/mm] \ {0} --> [mm] \IC [/mm] holomorph, nicht konstant, B=B(0,1) die Einheitskreisscheibe und C= [mm] \partial [/mm] B
Welche der folgenden Situationen sind möglich?
1) f ist beschränkt auf B \ {0} und [mm] \integral_{C}{f(z) dz} \not= [/mm] 0
2) Re f(z)=0 für alle z mit |z| < 2 |
Hallo,
ich komme irgenwie nicht zu Recht mit dieser Aufgabe.
Einzige Funktion, die mir bei 1) einfällt: 1/z erfüllt
[mm] \integral_{C}{f(z) dz} \not= [/mm] 0 ist aber auf B \ {0} unbeschränkt
Bei 2) Soll die Funktion auf B (0,2) konstant sein
Könnte mir jemand bitte helfen?
Danke.
Viele Grüße
Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Da [mm]f[/mm] auf dem in 0 gelochten Einheitskreis beschränkt ist, ist 0 eine hebbare Singularität (Riemannscher Hebbarkeitssatz), [mm]f[/mm] also zu einer in 0 holomorphen Funktion fortsetzbar. Dann muß aber das Integral über den Einheitskreis den Wert 0 besitzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 20.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo,
vielen vielen Dank für Deine Antwort. Schade, dass ich selber darauf nicht gekommen bin :-(
Könnte mir jemand einen Tipp zu 2) geben?
Danke.
Elena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Könnte mir jemand einen Tipp zu 2) geben?
Schau dir mal die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen an. Wenn der Realteil einer holomorphen Funktion konstant ist, was gilt dann fuer den Imaginaerteil?
LG Felix
PS: Was hat das ganze eigentlich mit Funktionalanalysis zu tun? :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 21.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
vielen vielen Dank für Deine Antwort.
Ich denke, man kann hier zwei Wege gehen:
1) Da Re f=0 ist, soll f konstant sein. Also seien u=Re f, v=Im f, dann ist u=0 und v={y, y aus [mm] \IR [/mm] }. Dann gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nicht
2) Die holomorphe Funktionen sind Gebietstreu.
|z|<2 ist eine offene Kreisscheibe. Da aber f auf [mm] \IC [/mm] \ {0} definiert ist, betrachten wir offene Kreisscheibe B(0,2) ohne den Mittelpunkt 0. Die punktierte Kreisscheibe B(0,2) \ {0} ist ein Gebiet (sie kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden. ICH BIN MIR HIER NICHT GANZ SICHER; KÖNNTE MIR JEMAND BITTE SAGEN; OB ES STIMMT?) . Also muss das Bild von f auf B(0,2) \ {0} auch ein Gebiet sein. Da aber das Bild die Y-Achse ist, die abgeschlossen ist, kommenwir zum Wiederspruch.
Ist es richtig?
Danke für die Hilfe.
Gruß elena.
PS: Was hat das ganze eigentlich mit Funktionalanalysis zu tun? :)
Hmmmmm, keine Ahnung,so heisst es bei uns in der Vorlesung 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo Felix,
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> vielen vielen Dank für Deine Antwort.
> Ich denke, man kann hier zwei Wege gehen:
> 1) Da Re f=0 ist, soll f konstant sein. Also seien u=Re f,
> v=Im f, dann ist u=0 und [mm] $v=\{y, y \text{ aus } \IR \}$. [/mm]
Du meinst $v$ ist eine Funktion [mm] $(\IR \times \IR) \setminus \{ (0, 0) \} \to \IR$?
[/mm]
> Dann gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nicht
Wie man es nimmt: Sie gelten ja, da $f$ holomorph ist, aber dann folgt daraus, dass $v = [mm] \Im [/mm] f$ konstant ist, womit ganz $f$ konstant ist, Widerspruch.
> 2) Die holomorphe Funktionen sind Gebietstreu.
> |z|<2 ist eine offene Kreisscheibe. Da aber f auf [mm]\IC[/mm] \ {0}
> definiert ist, betrachten wir offene Kreisscheibe B(0,2)
> ohne den Mittelpunkt 0. Die punktierte Kreisscheibe B(0,2)
> \ {0} ist ein Gebiet (sie kann nicht in zwei disjunkte
> nichtleere offene Mengen zerlegt werden. ICH BIN MIR HIER
> NICHT GANZ SICHER; KÖNNTE MIR JEMAND BITTE SAGEN; OB ES
> STIMMT?) .
Ja, das stimmt. Fuer Gebiete gilt: Ein Gebiet ist genau dann zusammenhaengend, wenn es wegzusammenhaengend ist. Und wegzusammenhaengend ist es offensichtlich 
> Also muss das Bild von f auf B(0,2) \ {0} auch
> ein Gebiet sein.
... da $f$ nicht konstant ist.
> Da aber das Bild die Y-Achse ist,
Das Bild ist erstmal nur eine Teilmenge der Y-Achse.
> die abgeschlossen ist, kommenwir zum Wiederspruch.
Da das Bild somit im inneren der Y-Achse liegen muss (da es offen ist), das Innere aber leer ist (im Gegensatz zum Bild).
> Ist es richtig?
Fast :)
> PS: Was hat das ganze eigentlich mit Funktionalanalysis zu
> tun? :)
> Hmmmmm, keine Ahnung,so heisst es bei uns in der
> Vorlesung
Das Thema (holomorphe Funktionen und Resultate dazu) gehoert eigentlich zur Funktionentheorie und nicht zur Funktionalanalysis...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Di 21.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felixf,
vielen Dank für Deine Hilfe.
Du hast mir sehr weitergeholfen.
Gruß Elena
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