Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei r>0. Die Funktionen f,g: [mm] \bar{B(0,r)} \to \IC [/mm] (ohne die 0) seien stetig auf [mm] \bar{B(0,r)} [/mm] und holomorph auf B(0,r) und es gelte |f(z)|=|g(z)| für alle z auf dem Rand von [mm] \bar{B(0,r)}. [/mm] Zeigen SIe, dass ein [mm] \alpha [/mm] existiert mit [mm] |\alpha| [/mm] = 1 und [mm] f=\alpha [/mm] g.
PS: das [mm] \bar [/mm] bezieht sich auf ganz B(0,r) |
Zunächst würde ich gerne wissen, wie ich mir die Aufgabe vorstellen kann. Wenn ich das richtig verstanden habe, haben wir zwei Funktionen, die im Betrag die gleichen Funktionen sind. Ihr Definitionsbereich ist der "Ball" also praktisch Kreis mit Radius r um den Punkt 0 und der Wertebereich liegt in der komplexen Ebene (die 0 ausgeschlossen). Jetzt soll ich zeigen, dass so ein [mm] \alpha [/mm] existiert und [mm] |\alpha| [/mm] = 1 ist damit [mm] f=\alpha [/mm] g. Wie gehe ich da vor?
Bisher habe ich mir folgendes gedacht:
|g(z)| = 1*|g(z)|
= [mm] |\alpha| [/mm] * |g(z)|
= [mm] |\alpha*g(z)|
[/mm]
beim letzten SChritt bin ich mir allerdings nicht sicher, ob ich das darf, wenn ich in [mm] \IC [/mm] bin.
Vielen Dank schon einmal,
Euer Herzblatt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 22.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei r>0. Die Funktionen f,g: [mm]\bar{B(0,r)} \to \IC[/mm] (ohne
> die 0) seien stetig auf [mm]\bar{B(0,r)}[/mm] und holomorph auf
> B(0,r) und es gelte |f(z)|=|g(z)| für alle z auf dem Rand
> von [mm]\bar{B(0,r)}.[/mm] Zeigen SIe, dass ein [mm]\alpha[/mm] existiert mit
> [mm]|\alpha|[/mm] = 1 und [mm]f=\alpha[/mm] g.
> PS: das [mm]\bar[/mm] bezieht sich auf ganz B(0,r)
> Zunächst würde ich gerne wissen, wie ich mir die Aufgabe
> vorstellen kann. Wenn ich das richtig verstanden habe,
> haben wir zwei Funktionen, die im Betrag die gleichen
> Funktionen sind. Ihr Definitionsbereich ist der "Ball" also
> praktisch Kreis mit Radius r um den Punkt 0 und der
> Wertebereich liegt in der komplexen Ebene (die 0
> ausgeschlossen). Jetzt soll ich zeigen, dass so ein [mm]\alpha[/mm]
> existiert und [mm]|\alpha|[/mm] = 1 ist damit [mm]f=\alpha[/mm] g. Wie gehe
> ich da vor?
> Bisher habe ich mir folgendes gedacht:
>
> |g(z)| = 1*|g(z)|
> = [mm]|\alpha|[/mm] * |g(z)|
> = [mm]|\alpha*g(z)|[/mm]
>
> beim letzten SChritt bin ich mir allerdings nicht sicher,
> ob ich das darf, wenn ich in [mm]\IC[/mm] bin.
du darfst das. nur ist es völlig nutzlos.
tipp: betrachte f/g, maximumprinzip.
fred
>
> Vielen Dank schon einmal,
>
> Euer Herzblatt
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
>
|
|
|
|
