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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Do 15.07.2010 | | Autor: | ClayPi |
| Aufgabe | [mm] u(x,y)=x^{2}- y^{2}+xy. [/mm] Finde v(x,y) so dass
f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) eine holomorphe Funktion ist und f(0)=0 |
So weit ich weiß gilt dann [mm] u_{x}(a)=v_{y}(a) [/mm] und [mm] u_{y}(a)=-v_{x}(a). [/mm] Das war's dann aber auch schon;-/ Wie gehe ich weiter vor?
Clay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Da muss man etwas hin und her integrieren und ableiten. Du weißt: [mm] u_x=2x+y, u_y=-2y+x.
[/mm]
Verbraten wir mal jetzt die 1. Gleichung [mm] u_x=2x+y=v_y.
[/mm]
Dann muss ja v die Form haben [mm] v(x,y)=\integral_{}^{}{2x+y dy}=2xy+\bruch{1}{2}y^2+C(x). [/mm] Die Integrationskonstante hier ist ein Term, der von x abhängt, da er bei der partiellen Ableitung nach y ja eh wegfallen würde.
Nun nimmst du dir die 2. Gleichung [mm] u_y=-2y+x=-v_x \gdw v_x=2y-x.
[/mm]
Leite nun einfach den Kandidaten für v [mm] 2xy+\bruch{1}{2}y^2+C(x) [/mm] nach x ab und richte C(x) so ein, dass [mm] v_x=2y-x [/mm] ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 15.07.2010 | | Autor: | ClayPi |
Hi Teufel
[mm] g:=2xy+\bruch{1}{2}y^{2}+C(x) [/mm] Dann ist g'(x)=2y+C'(x)
Damit [mm] v_{x}=2y-x [/mm] müsste doch C'(x)=-x sein (also [mm] C(x)=-\bruch{1}{2}x^{2})
[/mm]
Meintest du das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Genau!
Und wenn du dir jetzt dein [mm] v(x,y)=2xy+\bruch{1}{2}y^2-\bruch{1}{2}x^2 [/mm] anschaust, dann siehst du schon, dass alles so passt. Also die Ableitungen stimmen und auch f(0)=0 ist erfüllt.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 15.07.2010 | | Autor: | ClayPi |
Vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen.
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