Holomorphie von exp(-z^-4) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Sa 20.01.2007 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] mit [mm] f(z)=\begin{cases} e^{-z^{-4}}, & z \not= 0 \\ 0 & z=0\end{cases}
[/mm]
Wo ist f holomorph und wo partiell differenzierbar |
Hallo,
meine Idee zu der Aufgabe wäre, er Real- und Imaginärteil von [mm] z^{-4} [/mm] zu bestimmen dann Real- und Imaginärteil von f und dann Cauchy-Riemann zu überprüfen. Allerdings ist das ja recht viel langweilige Rechnerei. Daher wollte ich fragen, ob jemand einen eleganteren Weg hat.
Danke Frank
Anmerkung: Habe die Funktion nach dem Hinweis korrigiert
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Hast du die Funktion richtig angegeben? Oder muß es nicht vielleicht [mm]\operatorname{e}^{-z^{-4}}[/mm] heißen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 So 21.01.2007 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
du hast natürlich recht, es muss [mm] e^{-z^{-4}} [/mm] heißen.
Gruß
Frank
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Für [mm]z \neq 0[/mm] ist [mm]f[/mm] komplex differenzierbar. Denn [mm]f[/mm] wird aus differenzierbaren Funktionen mittels einer Verkettung konstruiert (Kettenregel). Da der Bereich [mm]z \neq 0[/mm] offen ist, ist [mm]f[/mm] also hier holomorph.
Bleibt der Fall [mm]z=0[/mm]. An dieser Stelle ist [mm]f[/mm] nicht einmal stetig (betrachte etwa [mm]z = \left( 1 + \operatorname{i} \right) \, t[/mm] für reelles [mm]t \neq 0[/mm] und führe den Grenzübergang [mm]t \to 0[/mm] durch), also auch nicht differenzierbar. Dennoch existieren die reellen partiellen Ableitungen, ja es gelten bei [mm]z=0[/mm] sogar die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Um das zu sehen, mußt du nur [mm]z=x[/mm] bzw. [mm]z = \operatorname{i}y[/mm] mit reellen [mm]x,y \neq 0[/mm] spezialisieren und
[mm]\left. \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right|_{z=0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \, , \ \ \ \ \left. \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right|_{z=0} = \lim_{y \to 0} \frac{f(\operatorname{i}y)-f(0)}{y-0} = \lim_{y \to 0} \frac{f(\operatorname{i}y)}{y}[/mm]
berechnen und Real- und Imaginärteil dieser Ausdrücke betrachten.
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