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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Ideas |
| Aufgabe | Zeigen Sie :
Die Monoide ( [mm] \IN [/mm] +{o}, + ) und (G+ , + ) sind Isomorph |
Hi alle zusammen,
und wieder mal stecke ich fest :/
An sich ist das denke ich mal eine recht leichte Annahme, nur irgendwie steige ich nicht hinter.
Was Homomorph ist weiß sich, dazu haben wir eine recht tolle
Veranschaulichung gemacht.Insgesammt kam da raus
[mm] \gamma [/mm] (a *1 b) = [mm] \gamma [/mm] (a) *2 [mm] \gamma [/mm] (b)
wobei *1 und *2 zwei verschiedene Rechenarten sind.
bei einem bijektiven Homomorph. handelt es sich um ein Isomorph.
Soweit konnte ich das auch noch nachvollziehen.
Allerdings kann ich es irgendwie nicht von der Abstrakten Schreibweise auf die konkrete herrunter "brechen".
Könnte mir denn jmd bitte helfen, vorallem einmal strukturiert zeigen wie ich es korrekt beweise ?
Das haben wir leider nicht ausführlich gemacht....
Unser Dozent macht es sehr abstrakt, mit zu wenigen Beispielen.
Vielen lieben Dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Fr 24.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Ideas,
mit [mm] \IN [/mm] + [mm] \{o\} [/mm] meinst Du sicher [mm] \IN \cup \{0\}.
[/mm]
Aber was ist G+?
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Ideas |
Ja entschuldige, natürlich sind die [mm] \IN [/mm] Zahlen gemeint mit der 0, das G+ steht für die Ganzen graden (positiven) Zahlen.
ich hoffe das hilft weiter zur Lösung meiner Aufgabe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 25.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Ideas,
um zu zeigen, dass die beiden Monoide isomorph sind, muss man einen bijektiven Homomorphismus zwischen ihnen angeben, d.h. man definiert zunächst eine Abbildung h : [mm] \IN_{0} \to G_{0}. [/mm] (Ich schreib die in beiden Mengen enthaltene 0 der Deutlichkeit halber mal unten dran). Wenn man h hat, muss man dann dessen Homorphie und die Bijektivität zeigen.
Wie kann man h wählen? Da kommt man recht schnell auf eine Idee, denn man muss ja von den natürlichen auf die geraden Zahlen abbilden und berücksichtigen, dass die 0 auf die 0 abgebildet wird (sonst ist es kein Homomorphismus).
Also nicht lange gefackelt: h(n) = 2*n erscheint aussichtsreich.
So, Ball zurück an Dich, jetzt mal Homomorphie bzgl. "+" und dann Bijektivität zeigen (unter Benutzung derer Definitionen).
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Ideas |
hmm ok,
ich so würde ich weiter machen..
Also die Beweissturktur des homomorph. ist ja
[mm] \gamma [/mm] (a *1 b) = [mm] \gamma [/mm] (a) *2 [mm] \gamma [/mm] (b)
feststellen tue ich das die operation ja die gleiche ist..
somit würde ich jetzt schreiben:
funktion war h(n)=2n
[mm] \gamma [/mm] 2(a + b) = [mm] \gamma [/mm] 2(a) + [mm] \gamma [/mm] 2(b)
somit ergibt sich rechnerisch für mich das gleiche ergebnis
zur surjektivität:
ich kann aus der Menge der G+ jedem element die grade Zahl aus [mm] \IN [/mm] zuweisen
beweis bräuchte ich vielleicht eine idee :/
vielleicht übersehe ich auch nur was.
injektivität bei gleichheit sagt lt. definition
[mm] \forall x_1, x_2 \in [/mm] X : [mm] (f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)
[/mm]
was im falle der 0 ja definitiv bewiesen ist.
aber konkret tue ich mich grade schwer den beweis auf die o.g. Aufgabe :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Sa 25.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Ideas,
zum Homomorphismus, der bei Dir [mm] \gamma [/mm] heißt. Deine Schreibweise im Beweis sollte so aussehen: [mm] \gamma [/mm] (a+b) = 2(a+b) = 2a + 2b = [mm] \gamma(a) [/mm] + [mm] \gamma(b).
[/mm]
Als zweites für einen Homomorphismus zwischen Monoiden muss gezeigt werden, dass das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet wird, also [mm] \gamma(0) [/mm] = 2*0 = 0.
Nun zur Surjektivität.
Was Du zeigen musst ist doch, dass jedes Element von [mm] G_{0}+ [/mm] ein Urbild unter [mm] \gamma [/mm] in [mm] \IN_{0} [/mm] hat. Nimm also ein b [mm] \in G_{0}+ [/mm] her. Da b gerade ist kannst Du eine Zahl a [mm] \in \IN_{0} [/mm] dazu finden (nämlich b/2), sodass gilt: [mm] \gamma(a) [/mm] = 2a=2*(b/2) = b, was die Surjektivität beweist.
Und zum Schluss die Injektivität. Was zu zeigen ist, hast Du ja schon allgemein hingeschrieben. Jetzt spezialisieren wir das auf [mm] \gamma.
[/mm]
Seien also a und b aus [mm] \IN_{0} [/mm] mit [mm] \gamma(a)=\gamma(b). [/mm] Dann folgt 2a=2b [mm] \Rightarrow [/mm] a=b und fertig.
Gruß
Uli
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