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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 30.04.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | | Sei K [mm] \subset \IR^n [/mm] kompakt und f: K [mm] \rightarrow \IR^m [/mm] stetig und injektiv. Zeige, dass f: K [mm] \rightarrow [/mm] f(K) ein Homöomorphismus ist. |
hallo,
gegeben ist f stetig und injektiv, dass heißt doch dass für jedes x eine y wert ex, damit es stetig sein kann, oder? injektiv, heißt falls für die gleichung f(x)=y für y [mm] \in \IR^n [/mm] nur ein x [mm] \in [/mm] K als lsg ex., daraus folgt doch dass abb. bijektiv und somit f: K [mm] \rightarrow [/mm] f(K) homo., oder?
Wie fange ich so einen Beweis am besten an? Habe immer schwierigkeiten dabei. Ich bin für jeden tipp dankbar.
gruß
knowhow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für einen Homöomorphismus $f$ müssen doch 3 Sachen gelten.
1. $f$ stetig (hast du gegeben)
2. $f$ bijektiv (Surjektivität ist klar, Injektivität vererbt sich, weil $f$ schon überall injektiv ist)
Und was ist die 3. Eigenschaft?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mi 30.04.2014 | | Autor: | knowhow |
und [mm] f^{-1} [/mm] muss stetig sein, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Genau. Das ist auch leider nicht immer automatisch der Fall!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:36 Mi 30.04.2014 | | Autor: | knowhow |
danke für deine schnelle antwort, aber wie fängt man am besten so ein beweis an?
gruß,
knowhow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 02.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 01.05.2014 | | Autor: | knowhow |
erstmal zu zeigen i) f bijektiv
ii) [mm] f^{-1} [/mm] stetig
zu i) folgt,da f stetig, d.h es muss zu jeden x ein y wert ex, damit es stetig ist und da f injektiv folgt bijektivität, richtig? (aber wie zeige ich das mathematisch?)
zu ii) [mm] f^{-1}: [/mm] f(K) [mm] \rightarrow [/mm] K
Urbild [mm] f^{-1}(K) [/mm] ist abgeschlossen, da K [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen (sogar kompakt) in [mm] \IR^m
[/mm]
Sei weiter x [mm] \in [/mm] f(K) bel. Pkt. und K umgebung von f(x), d.h K besitz offen Menge M mit f(x) [mm] \in [/mm] M [mm] \subset [/mm] K. Das Komplement [mm] \IR^n \backslash [/mm] M ist dann abgeschlossen [mm] \Rightarrow f^{-1}(\IR^n\backslash [/mm] M) abgeschlossen. d.h [mm] f^{-1}(M) [/mm] ist als komplement der abg. [mm] f^{-1}(\IR^n\backslash [/mm] M) offen. d.h [mm] f^{-1} [/mm] ist umgebung von x mit f(x) [mm] \in f(f^{-1}(M)) \subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] K
[mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] stetig
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, also Stetigkeit und Bijektivität von $f$ ist gegeben. Das einzige Problem ist die Stetigkeit von [mm] $f^{-1}$ [/mm] Dazu musst du z.B. zeigen, dass $f$ eine abgeschlossene Funktion ist, d.h. Bilder von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
Jetzt kommen ein paar Aussagen über Funktionen von kompakten Räumen ins Spiel. Es gilt, dass Bilder kompakter Mengen kompakt sind. Außerdem gilt: Ist $K$ kompakt und [mm] $A\subseteq [/mm] K$ abgeschlossen, so ist $A$ auch ein kompakter Teilraum. Dann gilt noch, dass im [mm] \IR^n [/mm] kompakte Mengen stets abgeschlossen sind.
Kriegst du mit den 3 Sachen einen Beweis zusammen?
Mit deinem Beweis aus dem letzten Post hättest du nur gezeigt, dass $f$ stetig ist, aber das ist ja schon gegeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 04.05.2014 | | Autor: | knowhow |
danke für deine antwort, hat mir aufjedenfall weitergebracht. kann ich nicht einfach mit den satz sagen, da K [mm] \subset \IR^n [/mm] kompakt und f stetig folgt doch schon daraus das f(k) kompakt ist ( satz aus VL), oder? muss ich das dann explizit nochmal zeigen? und da f(k) kompakt folgt auch f(k) ist abgeschlossen. somit [mm] f^{-1} [/mm] stetig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 04.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> danke für deine antwort, hat mir aufjedenfall
> weitergebracht. kann ich nicht einfach mit den satz sagen,
> da K [mm]\subset \IR^n[/mm] kompakt und f stetig folgt doch schon
> daraus das f(k) kompakt ist ( satz aus VL), oder? muss ich
> das dann explizit nochmal zeigen?
Nein.
> und da f(k) kompakt folgt
> auch f(k) ist abgeschlossen. somit [mm]f^{-1}[/mm] stetig
Hä ? Wieso "somit" ? Die Stetigkeit von [mm]f^{-1}[/mm] hast Du damit nicht gezeigt !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 04.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst jetzt zeigen, dass Bilder abgeschlossener Mengen aus $K$ abgeschlossen sind (jn $f(K)$). Das ist äquivalent dazu, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] stetig ist. Ist dir klar, warum?
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