Homöomorphismus < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Di 29.11.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Jede stetige, bijektive Abbildung zwischen metrischen Räumen ist ein Homöomorphismus. |
Hallo!
Eigentlich entspricht ja alles der Definition eines Homöomorphismus, bis auf dass noch zu zeigen ist, dass [mm] f^{-1} [/mm] auch stetig ist, oder?
Sei nun f: X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] y und [mm] f^{-1}: [/mm] Y [mm] \to [/mm] X, y [mm] \mapsto [/mm] x
Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig und es ist:
[mm] f\circ f^{-1}=f(f^{-1}(y))=f(x) [/mm] und die Verkettung ist damit stetig, also ist auch [mm] f^{-1} [/mm] stetig.
Wars das schon oder habe ich noch etwas übersehen?!
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
> Jede stetige, bijektive Abbildung zwischen metrischen
> Räumen ist ein Homöomorphismus.
> Hallo!
>
> Eigentlich entspricht ja alles der Definition eines
> Homöomorphismus, bis auf dass noch zu zeigen ist, dass
> [mm]f^{-1}[/mm] auch stetig ist, oder?
>
> Sei nun f: X [mm]\to[/mm] Y, x [mm]\mapsto[/mm] y und [mm]f^{-1}:[/mm] Y [mm]\to[/mm] X, y
> [mm]\mapsto[/mm] x
> Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig und es ist:
>
> [mm]f\circ f^{-1}=f(f^{-1}(y))=f(x)[/mm]
Das ist aber schlampig !
> und die Verkettung ist
> damit stetig, also ist auch [mm]f^{-1}[/mm] stetig.
Wie Du darauf kommst ist mir ein Rätsel.
Tipp: die Aussage ist falsch. Suche also ein Gegenbeispiel.
FRED
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> Wars das schon oder habe ich noch etwas übersehen?!
>
> Danke schonmal!
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