Homöomorphismus S1 und R/Z < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Abbildung [mm] \mathbb{R}/\mathbb{R}\rightarrow S^1 (S^1 [/mm] ausgestattet mit der Spurtopologie) mit [mm] x+\mathbb{Z}\mapsto e^{2\pi i x} [/mm] ein Homöomorphismus ist. |
Meine Frage: Zunächst einmal, darf ich annehmen, dass es sich bei der Topologie auf [mm] S^1 [/mm] um die Spurtopologie bezüglich der von den offenen Intervallen erzeugten Topologie handelt?
Wenn ich auf [mm] \mathbb{R}/\mathbb{Z} [/mm] die Quotiententopologie betrachte, sind meine Restklassen ja jeweils [mm] x+\mathbb{Z} [/mm] mit [mm] x\in [/mm] (0,1], was ich mir wie einen zusammengebundenen Kreis vorstelle.
Anschaulich ist mir dann klar, dass die beiden Kreise homöomorph sind, aber wie beweise ich das?
Vorschlag: Da [mm] x\mapsto\frac{\log(x)}{2\pi i} [/mm] die Umkehrabbildung ist (möglich, da alle x auf dem Einheitskreis Betrag 1 haben), ist die Abbildung schon einmal bijektiv. Jetzt muss noch die Stetigkeit der Abbildung und der Umkehrabbildung gezeigt werden.
Meistens macht man ja solche Stetigkeitsbeweise durch die Charakterisierung mit offenen Mengen, also sei [mm] U\subseteq S^1 [/mm] offen. Dann ist o. B. d. A. [mm] U=s^1\cap (a,b)\times [/mm] (c,d) mit [mm] a,b,c,d\in\mathbb{R}, [/mm] a<b, c<d.
Das Urbild ist dann [mm] \{x+\mathbb{Z}: e^{2\pi i x}\in U\}, [/mm] aber wie setze ich hier fort?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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