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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Di 21.04.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo!
Gegeben [mm] $y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }$*y(x). [/mm] Was ist das reelle Fundamentalsystem?
Mein Versuch:
Sei [mm] A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] und betrachte $y'(x)=A*y(x)$.
Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus gegeben durch [mm] $p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)$.
[/mm]
Demnach [mm] \lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})
[/mm]
Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm] \IC. [/mm] Muss ich jetzt über die Jordannormalform gehen?
Danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:30 Mi 22.04.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Gegeben [mm]y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]*y(x).
> Was ist das reelle Fundamentalsystem?
>
> Mein Versuch:
>
> Sei [mm]A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] und
> betrachte [mm]y'(x)=A*y(x)[/mm].
> Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus gegeben
> durch [mm]p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)[/mm].
> Demnach [mm]\lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.[/mm]
>
> [mm]Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),[/mm]
>
> [mm]Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),[/mm]
>
> [mm]Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})[/mm]
>
> Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm]\IC.[/mm]
Wie bitte? A ist diagonalisierbar, diagonalisierbarer geht's kaum.
Muss ich
> jetzt über die Jordannormalform gehen?
>
> Danke euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Mi 22.04.2020 | | Autor: | James90 |
Oh, da hast du natürlich recht!
Habe es nun geschafft.
Danke Dir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 22.04.2020 | | Autor: | James90 |
> > Hallo!
> >
> > Gegeben [mm]y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]*y(x).
> > Was ist das reelle Fundamentalsystem?
> >
> > Mein Versuch:
> >
> > Sei [mm]A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] und
> > betrachte [mm]y'(x)=A*y(x)[/mm].
> > Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus gegeben
> > durch [mm]p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)[/mm].
> > Demnach [mm]\lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.[/mm]
> >
> > [mm]Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),[/mm]
> >
> > [mm]Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),[/mm]
> >
> > [mm]Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})[/mm]
> >
> > Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm]\IC.[/mm]
>
> Wie bitte? A ist diagonalisierbar, diagonalisierbarer
> geht's kaum.
>
>
> Muss ich
> > jetzt über die Jordannormalform gehen?
> >
> > Danke euch!
>
Hallo nochmal,
jetzt habe ich nochmal die "Probe" gemacht und glaube einen Fehler gemacht zu haben:
[mm] y(x)=C_1\begin{pmatrix} e^x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} 0 \\ -3\sin(3x) \\ \cos(3x) \end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix} 0 \\ 3\cos(3x) \\ \sin(3x) \end{pmatrix}
[/mm]
Nun wollte ich noch die Lösung angeben mit [mm] y(0)=[4,3,-1]^T.
[/mm]
Erhalten habe ich dann C=(4-1,1), aber wenn ich nun zur Probe rechne, dann komme ich nicht auf das Ergebnis:
[mm] A*y=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }*\vektor{4e^x \\ 3sin(3x)+3cos(3x)\\ sin(3x)}=\vektor{-20e^x \\ -9sin(3x)\\ 3sin(3x)+3cos(3x)}\not=y'
[/mm]
Habe ich mich verrechnet oder habe ich einen Denkfehler?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 23.04.2020 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo!
> > >
> > > Gegeben [mm]y'(x)=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]*y(x).
> > > Was ist das reelle Fundamentalsystem?
> > >
> > > Mein Versuch:
> > >
> > > Sei [mm]A:=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] und
> > > betrachte [mm]y'(x)=A*y(x)[/mm].
> > > Das charakteristische Polynom ist nach Sarrus
> gegeben
> > > durch [mm]p_{\lambda}(A)=-(\lambda^2+9)(5+\lambda)[/mm].
> > > Demnach [mm]\lamda_1=5, \lambda_2=3i, \lambda_3=-3i.[/mm]
> >
> >
> > > [mm]Kern(A-\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),[/mm]
> > >
> > > [mm]Kern(A-\lambda_2)=span(\vektor{0 \\ 3i \\ 1}),[/mm]
> > >
> > > [mm]Kern(A-\lambda_3)=span(\vektor{0 \\ -3i \\ 1})[/mm]
> > >
> > > Damit ist A nicht diagonalisierbar über [mm]\IC.[/mm]
> >
> > Wie bitte? A ist diagonalisierbar, diagonalisierbarer
> > geht's kaum.
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> >
> > Muss ich
> > > jetzt über die Jordannormalform gehen?
> > >
> > > Danke euch!
> >
>
> Hallo nochmal,
>
> jetzt habe ich nochmal die "Probe" gemacht und glaube einen
> Fehler gemacht zu haben:
>
> [mm]y(x)=C_1\begin{pmatrix} e^x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} 0 \\ -3\sin(3x) \\ \cos(3x) \end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix} 0 \\ 3\cos(3x) \\ \sin(3x) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun wollte ich noch die Lösung angeben mit
> [mm]y(0)=[4,3,-1]^T.[/mm]
> Erhalten habe ich dann C=(4-1,1), aber wenn ich nun zur
> Probe rechne, dann komme ich nicht auf das Ergebnis:
Kein Wunder, denn es ist C=(4,1,1).
>
> [mm]A*y=\pmat{ -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 }*\vektor{4e^x \\ 3sin(3x)+3cos(3x)\\ sin(3x)}=\vektor{-20e^x \\ -9sin(3x)\\ 3sin(3x)+3cos(3x)}\not=y'[/mm]
>
> Habe ich mich verrechnet oder habe ich einen Denkfehler?
>
> Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Do 23.04.2020 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank, meinen Fehler habe ich nun gefunden! 
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