Homogene Diffgleichung? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 16.11.2011 | | Autor: | PeterLee |
| Aufgabe | | [mm] y*y´+x^{-2}=0 [/mm] |
Habe eigentlich 2 Fragen. Kann es sein dass es sich hier um eine homogene Differenzialgleichung handelt? Zwischen all den inhomogenen etwas ungewöhnlich, aber durchaus möglich ;)
2. Komme ich an einem Punkt nich weiter, vermutlich handelt es sich um ein "kleineres" Problem. Mal sehn was ihr dazu meint =)
1. Umformen:
y*y´= [mm] -x^{-2}
[/mm]
y´= [mm] \bruch{-x^{-2}}{y}
[/mm]
oder: y´ = [mm] -\bruch{1}{x^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
2. Lapidar gesagt: Nach y und x sortieren:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -x^{-2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{y} [/mm]
Wie bekomme ich das y jetzt auf der linken Seite in den Nenner? Sorry, aber irgendwie steh ich vollkommen auf der Leitung.
Ich weiss, wenn es eine homogene sein sollte, dass man das auch nach Formel lösen kann, ich will aber zur Übung das mal durchrechnen ;)
danke
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Hallo PeterLee,
> [mm]y*y´+x^{-2}=0[/mm]
>
> Habe eigentlich 2 Fragen. Kann es sein dass es sich hier um
> eine homogene Differenzialgleichung handelt? Zwischen all
> den inhomogenen etwas ungewöhnlich, aber durchaus möglich
> ;)
> 2. Komme ich an einem Punkt nich weiter, vermutlich
> handelt es sich um ein "kleineres" Problem. Mal sehn was
> ihr dazu meint =)
>
> 1. Umformen:
>
> y*y´= [mm]-x^{-2}[/mm]
>
> y´= [mm]\bruch{-x^{-2}}{y}[/mm]
>
> oder: y´ = [mm]-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> 2. Lapidar gesagt: Nach y und x sortieren:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> Wie bekomme ich das y jetzt auf der linken Seite in den
> Nenner? Sorry, aber irgendwie steh ich vollkommen auf der
> Leitung.
>
Multipliziere die DGL mit y durch.
> Ich weiss, wenn es eine homogene sein sollte, dass man das
> auch nach Formel lösen kann, ich will aber zur Übung das
> mal durchrechnen ;)
>
> danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mi 16.11.2011 | | Autor: | PeterLee |
> [mm]y*y´+x^{-2}=0[/mm]
>
> Habe eigentlich 2 Fragen. Kann es sein dass es sich hier um
> eine homogene Differenzialgleichung handelt? Zwischen all
> den inhomogenen etwas ungewöhnlich, aber durchaus möglich
> ;)
> 2. Komme ich an einem Punkt nich weiter, vermutlich
> handelt es sich um ein "kleineres" Problem. Mal sehn was
> ihr dazu meint =)
>
> 1. Umformen:
>
> y*y´= [mm]-x^{-2}[/mm]
>
> y´= [mm]\bruch{-x^{-2}}{y}[/mm]
>
> oder: y´ = [mm]-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> 2. Lapidar gesagt: Nach y und x sortieren:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> Wie bekomme ich das y jetzt auf der linken Seite in den
> Nenner? Sorry, aber irgendwie steh ich vollkommen auf der
> Leitung.
>
> Ich weiss, wenn es eine homogene sein sollte, dass man das
> auch nach Formel lösen kann, ich will aber zur Übung das
> mal durchrechnen ;)
>
> danke
Ok das habe ich auch versucht, aber dann bin ich wieder so weit, wie vorher?
[mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] |*y *dx
dy *y = [mm] -x^{-2} [/mm] *dx
so...jetzt komm ich eben nicht weiter, weil dy*y ergibt ja nicht ln|y|, so wie ich möchte....
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Hallo PeterLee,
> > [mm]y*y´+x^{-2}=0[/mm]
> >
> > Habe eigentlich 2 Fragen. Kann es sein dass es sich hier um
> > eine homogene Differenzialgleichung handelt? Zwischen all
> > den inhomogenen etwas ungewöhnlich, aber durchaus möglich
> > ;)
> > 2. Komme ich an einem Punkt nich weiter, vermutlich
> > handelt es sich um ein "kleineres" Problem. Mal sehn was
> > ihr dazu meint =)
> >
> > 1. Umformen:
> >
> > y*y´= [mm]-x^{-2}[/mm]
> >
> > y´= [mm]\bruch{-x^{-2}}{y}[/mm]
> >
> > oder: y´ = [mm]-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> >
> > 2. Lapidar gesagt: Nach y und x sortieren:
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> >
> > Wie bekomme ich das y jetzt auf der linken Seite in den
> > Nenner? Sorry, aber irgendwie steh ich vollkommen auf der
> > Leitung.
> >
> > Ich weiss, wenn es eine homogene sein sollte, dass man das
> > auch nach Formel lösen kann, ich will aber zur Übung das
> > mal durchrechnen ;)
> >
> > danke
>
>
> Ok das habe ich auch versucht, aber dann bin ich wieder so
> weit, wie vorher?
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] |*y *dx
>
> dy *y = [mm]-x^{-2}[/mm] *dx
>
> so...jetzt komm ich eben nicht weiter, weil dy*y ergibt ja
> nicht ln|y|, so wie ich möchte....
>
Nicht jedes Integral ergibt das, was Du möchtest.
Integriere dies nach dem Integral der Potenzfunktion.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 16.11.2011 | | Autor: | PeterLee |
> Hallo PeterLee,
>
> > > [mm]y*y´+x^{-2}=0[/mm]
> > >
> > > Habe eigentlich 2 Fragen. Kann es sein dass es sich hier um
> > > eine homogene Differenzialgleichung handelt? Zwischen all
> > > den inhomogenen etwas ungewöhnlich, aber durchaus möglich
> > > ;)
> > > 2. Komme ich an einem Punkt nich weiter, vermutlich
> > > handelt es sich um ein "kleineres" Problem. Mal sehn was
> > > ihr dazu meint =)
> > >
> > > 1. Umformen:
> > >
> > > y*y´= [mm]-x^{-2}[/mm]
> > >
> > > y´= [mm]\bruch{-x^{-2}}{y}[/mm]
> > >
> > > oder: y´ = [mm]-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> > >
> > > 2. Lapidar gesagt: Nach y und x sortieren:
> > >
> > > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> > >
> > > Wie bekomme ich das y jetzt auf der linken Seite in den
> > > Nenner? Sorry, aber irgendwie steh ich vollkommen auf der
> > > Leitung.
> > >
> > > Ich weiss, wenn es eine homogene sein sollte, dass man das
> > > auch nach Formel lösen kann, ich will aber zur Übung das
> > > mal durchrechnen ;)
> > >
> > > danke
> >
> >
> > Ok das habe ich auch versucht, aber dann bin ich wieder so
> > weit, wie vorher?
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] |*y *dx
> >
> > dy *y = [mm]-x^{-2}[/mm] *dx
> >
> > so...jetzt komm ich eben nicht weiter, weil dy*y ergibt ja
> > nicht ln|y|, so wie ich möchte....
> >
>
>
> Nicht jedes Integral ergibt das, was Du möchtest.
>
> Integriere dies nach dem
> Integral der Potenzfunktion.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Gut werde ich mal versuchen.. haben das in der Uni irgendwie nie so gemacht, der Prof meinte dass es immer [mm] e^{etwas} [/mm] ergeben wird, aber vielleicht kommt das ja jetzt auch mal versuchen...
[mm] \integral{y dy} [/mm] = [mm] \integral{-\bruch{1}{x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*y^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
(letzteres entnommen aus der Formelsammung)
und jetzt nach y auflösen?
[mm] y^{2} =\bruch{1}{2x}
[/mm]
y= [mm] \wurzel{\bruch{1}{2x}}
[/mm]
kann das so sein, bin ehrlichgesagt noch am (ver)zweifeln
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Hallo PeterLee,
> > Hallo PeterLee,
> >
> > > > [mm]y*y´+x^{-2}=0[/mm]
> > > >
> > > > Habe eigentlich 2 Fragen. Kann es sein dass es sich hier um
> > > > eine homogene Differenzialgleichung handelt? Zwischen all
> > > > den inhomogenen etwas ungewöhnlich, aber durchaus möglich
> > > > ;)
> > > > 2. Komme ich an einem Punkt nich weiter,
> vermutlich
> > > > handelt es sich um ein "kleineres" Problem. Mal sehn was
> > > > ihr dazu meint =)
> > > >
> > > > 1. Umformen:
> > > >
> > > > y*y´= [mm]-x^{-2}[/mm]
> > > >
> > > > y´= [mm]\bruch{-x^{-2}}{y}[/mm]
> > > >
> > > > oder: y´ = [mm]-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> > > >
> > > > 2. Lapidar gesagt: Nach y und x sortieren:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> > > >
> > > > Wie bekomme ich das y jetzt auf der linken Seite in den
> > > > Nenner? Sorry, aber irgendwie steh ich vollkommen auf der
> > > > Leitung.
> > > >
> > > > Ich weiss, wenn es eine homogene sein sollte, dass man das
> > > > auch nach Formel lösen kann, ich will aber zur Übung das
> > > > mal durchrechnen ;)
> > > >
> > > > danke
> > >
> > >
> > > Ok das habe ich auch versucht, aber dann bin ich wieder so
> > > weit, wie vorher?
> > >
> > > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-x^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] |*y *dx
> > >
> > > dy *y = [mm]-x^{-2}[/mm] *dx
> > >
> > > so...jetzt komm ich eben nicht weiter, weil dy*y ergibt ja
> > > nicht ln|y|, so wie ich möchte....
> > >
> >
> >
> > Nicht jedes Integral ergibt das, was Du möchtest.
> >
> > Integriere dies nach dem
> > Integral der Potenzfunktion.
>
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
>
> Gut werde ich mal versuchen.. haben das in der Uni
> irgendwie nie so gemacht, der Prof meinte dass es immer
> [mm]e^{etwas}[/mm] ergeben wird, aber vielleicht kommt das ja jetzt
> auch mal versuchen...
>
> [mm]\integral{y dy}[/mm] = [mm]\integral{-\bruch{1}{x^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
Hier hast Du eine Integrationskonstante vergessen:
[mm]\bruch{1}{2}*y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}+\red{C}[/mm]
> (letzteres entnommen aus der Formelsammung)
>
> und jetzt nach y auflösen?
>
> [mm]y^{2} =\bruch{1}{2x}[/mm]
>
Das hast Du nicht richtig nach y aufgelöst.
> y= [mm]\wurzel{\bruch{1}{2x}}[/mm]
>
> kann das so sein, bin ehrlichgesagt noch am (ver)zweifeln
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 16.11.2011 | | Autor: | PeterLee |
> Hier hast Du eine Integrationskonstante vergessen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}+\red{C}[/mm]
>
>
> > (letzteres entnommen aus der Formelsammung)
> >
> > und jetzt nach y auflösen?
> >
> > [mm]y^{2} =\bruch{1}{2x}[/mm]
> >
>
>
> Das hast Du nicht richtig nach y aufgelöst.
>
>
> > y= [mm]\wurzel{\bruch{1}{2x}}[/mm]
Achja tatsächlich:
Also nun richtig aufgelöst und mit Konstante:
[mm]y^{2} =\bruch{2}{x}+C [/mm]
y= [mm] \bruch{1}\wurzel{x} [/mm] +C
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Hallo PeterLee,
> > Hier hast Du eine Integrationskonstante vergessen:
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}*y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}+\red{C}[/mm]
> >
> >
> > > (letzteres entnommen aus der Formelsammung)
> > >
> > > und jetzt nach y auflösen?
> > >
> > > [mm]y^{2} =\bruch{1}{2x}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Das hast Du nicht richtig nach y aufgelöst.
> >
> >
> > > y= [mm]\wurzel{\bruch{1}{2x}}[/mm]
>
>
> Achja tatsächlich:
>
> Also nun richtig aufgelöst und mit Konstante:
>
> [mm]y^{2} =\bruch{2}{x}+C[/mm]
>
> y= [mm]\bruch{1}\wurzel{x}[/mm] +C
>
Das stimmt auch nicht.
Richtig aufgelöst, ergibt sich: [mm]y=\pm \wurzel{\bruch{2}{x}+C}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 16.11.2011 | | Autor: | PeterLee |
aah hab ichs doch fast befürchtet dass die Konstente unter die Wurzel kommen
Danke für deine Hilfe!!
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