Homogene Polynome < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 04.09.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
es geht um folgende Aufgabe:
Gegeben sei eine Funktion [mm] g:\IR^n\to\IR [/mm] . Die Einschränkung der Funktion g auf den [mm] \IR^n\backslash\{0\} [/mm] sei zudem eine homogene Funktion vom Grad [mm] k\in\IN_0.
[/mm]
Zu zeigen: Wenn g auf dem ganzen [mm] \IR^n [/mm] k-mal stetig differenzierbar ist, so ist g ein homogenes Polynom.
Vermutlich braucht man die Ableitungen für die Lösung der Aufgabe, denn die partielle Ableitung einer homogenen Funktion vom Grad k, ist homogen vom Grad k-1, soweit ich weiß...
mfg
|
|
| |
|
Du hast die Antwort schon fast selbst gegeben:
die k-ten partiellen Ableitungen sind homogen vom Grad 0, d.h. die k+1-ten partiellen Ableitungen sind konstant.
Betrachte das Ganze mal koordinatenweise, d.h. zeige:
§g§ ist in jeder einzelnen Komponente ein Polynom. Das entspricht einer Induktion nach $n$.
Vergiß den Punkt $0$ in deiner Argumentation nicht [mm] ($g^{(k)}$ [/mm] ist stetig!).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
also dass die k-te partielle Ableitung homogen vom Grad 0 ist, ist mir schon klar. Das heißt also [mm] f(tx)=t^{0}f(x)=f(x). [/mm] Der Rest deines Beitrages ist mir dann unverständlich. Die k+1-te partielle Ableitung ist doch homogen vom Grad (-1), wieso soll sie dann konstant sein? Außerdem ist die Funktion doch nur k-mal partiell diff.bar, und nicht k+1-mal.
Ich komme nicht dahinter, was mir die Ableitungen bringen, und v.a. wieso die Funktion dann ausgerechnet ein Polynom sein soll. Das erinnert mich irgendwie an ein Taylor-Polynom, doch das führt mich auch nicht ans Ziel. Kurz gesagt, ich seh nicht was du meinst. Vermutlich fehlen mir dazu auch irgendwelche weiterführenden Kenntnisse zu homogenen Funktionen. Könntest du daher bitte deinen Lösungvorschlag ausführlicher erläutern?
mfg
|
|
|
| |
|
Ok, ich habe eine etwas zu "saloppe" Antwort gegeben. Und du hast recht, ich wollte eigentlich von der k-ten partiellen Ableitung reden.
Also:
Die k-te partielle Ableitung nach [mm] $x_l$ [/mm] ist homogen vom Grad Null, sie ist also auf jeder Gerade durch den Ursprung konstant. Es gilt also
[mm] \[
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_l^k}(x)= \frac{\partial f}{\partial x_l^k}\left(\frac{x}{|x|}\right):= c_l,
[/mm]
[mm] \]
[/mm]
Im Punkt $0$ kann man die k-te Ableitung stetig fortsetzen.
Nun betrachtet man $f$ nur noch als Funktion in [mm] $x_l$ [/mm] und integriert obige Gleichung k mal. Dann sieht man, dass die Einschränkung von $f$ auf die l-te Koordinatenachse ein Polynom in [mm] $x_l$ [/mm] ist.
Vielleicht kann man das benutzen, um zu zeigen, dass $f$ überall ein Polynom ist. Der Beweis ist doch nicht ganz so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 05.09.2005 | | Autor: | mickrau133 |
Sieh dir mal den folgenden Link an, der Rest müsste dann in einer induktion nach dem Grad der Homogenität bestehen:
http://hacktor.fs.uni-bayreuth.de/thermo/euler.html
[mm] \[
[/mm]
[mm] f(tx_1,\dots,tx_n)=t^k f(x_1,\dots,x_n).
[/mm]
[mm] \]
[/mm]
Ableiten nach t und anschliessendes Setzen von $t=1$ ergibt
[mm] \[
[/mm]
[mm] kf(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}.
[/mm]
[mm] \]
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 05.09.2005 | | Autor: | mickrau133 |
Noch einen Tipp zum Induktionsanfang (d.h. dem Beweis, dass homogene Funktionen vom Grad 0 konstant sind, wenn sie auch im Punkt 0 stetig sind):
Dass $f$ konstant auf jeder einzelnen Ursprungsgerade ist, das ist klar.
Da die einzelnen Ursprungsgeraden sich im Nullpunkt schneiden, folgt aus der Stetigkeit von $f$ in $0$ und aus der Konstanz von $f$ auf jeder einzelnen Ursprungsgeraden auch die Konstanz von $f$ im [mm] $\mathbb{R}^n$.
[/mm]
|
|
|
|
