Homogene oder inhomogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mo 17.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | <br>
Charakterisiere die DGL:
[mm]3x*y'(x)= \frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+3*y(x)[/mm] |
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Hallo, bezüglich der Charakterisierung würde ich sagen:
Die DGL ist gewöhnlich, nichtlinear und homogen - stimmt ihr dem zu?
Homogen heißt ja eigentlich, dass die DGL gleich null ist, allerdings kann man hier alle Terme mit y auf die linke Seite bringen, so dass rechts null steht und kein Term von x mehr. Bin mir da aber nicht sicher. Würdet ihr sagen sie ist homogen oder inhomogen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Di 18.01.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Charakterisiere die DGL:
> [mm]3x*y'(x)= \frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+3*y(x)[/mm]
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> Hallo, bezüglich der Charakterisierung würde ich sagen:
> Die DGL ist gewöhnlich, nichtlinear und homogen - stimmt
> ihr dem zu?
Ja, sie ist gewöhnlich und nichtlinear. Aber von "homogen" spricht man nur bei linearen Diff.- gleichungen.
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> Homogen heißt ja eigentlich, dass die DGL gleich null ist,
Nein, so kann man das nicht sagen.
> allerdings kann man hier alle Terme mit y auf die linke
> Seite bringen, so dass rechts null steht und kein Term von
> x mehr. Bin mir da aber nicht sicher. Würdet ihr sagen sie
> ist homogen oder inhomogen?
Weder noch, wie gesagt von "homogen" spricht man nur bei linearen Diff.- gleichungen.
Die DGL
[mm] $(\circ) \quad [/mm] y'(x)= a(x)y(x) +b(x)$
heißt eine lineare DGL 1. Ordnung, dabei sind a und b stetige Funktionen auf einem Intervall.
Ist b die Nullfunktion, so heißt [mm] $(\circ)$ [/mm] homogen. Anderenfalls inhomogen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 18.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort, ich wusste bislang nicht, dass die Eigenschaft der (In)Homogenität nur für lineare DGL existiert.
Wir sollen nun die oben beschriebene DGL lösen (ohne gegebene Anfangswerte). Leider komme ich wieder auf gar keinen Lösungsansatz. Schon allein das 3x/sin(y(x)/x) ist mir viel zu kompliziert. Bin für jede Idee dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 18.01.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort, ich wusste bislang
> nicht, dass die Eigenschaft der (In)Homogenität nur für
> lineare DGL existiert.
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> Wir sollen nun die oben beschriebene DGL lösen (ohne
> gegebene Anfangswerte). Leider komme ich wieder auf gar
> keinen Lösungsansatz. Schon allein das 3x/sin(y(x)/x) ist
> mir viel zu kompliziert. Bin für jede Idee dankbar!
Wir haben also die DGL $ [mm] 3x\cdot{}y'(x)= \frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+3\cdot{}y(x) [/mm] $.
Klar ist, dass $x [mm] \ne [/mm] 0$. Wir betrachten also den Fall $x>0.$
Aus obiger DGL wird dann
$ y'(x)= [mm] \frac{1}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+\frac{y(x)}{x} [/mm] $.
Setze nun [mm] $z(x)=\frac{y(x)}{x} [/mm] $ und zeige, dass $z$ dann die folgende DGL erfüllt:
$z'(x) [mm] \sin [/mm] (z(x))= [mm] \frac{1}{x}.$
[/mm]
Es ist $z'(x) [mm] \sin (z(x))=-(\cos(z(x)))',$ [/mm] also
[mm] $-\cos(z(x))= \ln [/mm] x +C.$
Jetzt Du !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 19.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort und den tollen Ansatz! Kurze Rückfrage: Dass man x=0 ausschließen kann ist mir klar. Aber warum dann nur x>0? Könnte es nicht auch x<0 und somit insgesamt dann x[mm] \neq[/mm]0 sein?
Ausgehend von
-cos(z(x))=ln(x)+C
habe ich zunächst mit (-1) multipliziert:
cos(z(x))=-ln(x)-C
Dann habe ich den Arkuskosinus gebildet
z(x)=arccos(-ln(x)-C)
und rücksubstituiert:
f(x)/x=arccos(-ln(x)-C)
Somit erhalte ich schließlich als Lösung:
f(x)=x*arccos(-ln(x)-C)
Ist das soweit richtig?
Natürlich sieht man hier am ln(x), dass x<0 nun nicht mehr sein darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mi 19.01.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort und den tollen
> Ansatz! Kurze Rückfrage: Dass man x=0 ausschließen kann
> ist mir klar. Aber warum dann nur x>0? Könnte es nicht
> auch x<0 und somit insgesamt dann x[mm] \neq[/mm]0 sein?
Den Fall x<0 habe ich eigentlich Dir überlassen .....
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> Ausgehend von
> -cos(z(x))=ln(x)+C
> habe ich zunächst mit (-1) multipliziert:
> cos(z(x))=-ln(x)-C
> Dann habe ich den Arkuskosinus gebildet
> z(x)=arccos(-ln(x)-C)
> und rücksubstituiert:
> f(x)/x=arccos(-ln(x)-C)
> Somit erhalte ich schließlich als Lösung:
> f(x)=x*arccos(-ln(x)-C)
>
> Ist das soweit richtig?
Ja.
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> Natürlich sieht man hier am ln(x), dass x<0 nun nicht mehr
> sein darf.
Nun der Fall x<0.
Bis hier
$ z'(x) [mm] \sin [/mm] (z(x))= [mm] \frac{1}{x}. [/mm] $
kannst Du die obigen Rechnungen übernehmen. Nun benötigen wir wieder Stammfunktionen.
Für $x<0$ ist [mm] $\ln(-x)$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x}, [/mm] somit bekommen wir
$ [mm] -\cos(z(x))= \ln(-x) [/mm] +C. $
Jetzt wieder Du !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 19.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
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Mit der veränderten Stammfunktion komme ich dann bei ansonsten gleichem Rechenweg einfach auf
f(x)=x*arccos(-ln(-x)-C)
als Lösung. Stimmt das?
Ich habe das Ergebnis mal am Computer kontrolliert, wobei mir natürlich nicht der Rechenweg angezeigt wird, und dann wird das Minus dann vorgezogen, d.h. es gibt die Lösungen
f(x)=x*arccos(c1-ln(x))
und
f(x)=-x*arccos(c1-ln(x))
aber mir ist nicht klar, wie das Minus dort raus und nach vor kommt.
Nochmals danke für die Hilfe, ich lerne hier gerade echt was!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mi 19.01.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Mit der veränderten Stammfunktion komme ich dann bei
> ansonsten gleichem Rechenweg einfach auf
> f(x)=x*arccos(-ln(-x)-C)
> als Lösung. Stimmt das?
Ja.
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> Ich habe das Ergebnis mal am Computer kontrolliert, wobei
> mir natürlich nicht der Rechenweg angezeigt wird, und dann
> wird das Minus dann vorgezogen, d.h. es gibt die Lösungen
> f(x)=x*arccos(c1-ln(x))
> und
> f(x)=-x*arccos(c1-ln(x))
> aber mir ist nicht klar, wie das Minus dort raus und nach
> vor kommt.
Nochmals die DGL
$ [mm] 3x\cdot{}y'(x)= \frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+3\cdot{}y(x) [/mm] $
Multipliziere die Gl. mit $-1$ durch und beachte dass [mm] $\sin(-a)=-\sin(a)$ [/mm] ist, dann solltest Du sehen:
mit $y$ ist auch $-y$ eine Lösung der DGL.
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> Nochmals danke für die Hilfe, ich lerne hier gerade echt
> was!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 19.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
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sin(-a)=-sin(a) ist mir natürlich bekannt, aber den Rest verstehe ich noch nicht.
Wir haben zunächst den Fall x>0 angenommen und jetzt x<0. Wieso muss man dann die Gleichung mit -1 multiplizieren? Ich hätte eher x durch -x ersetzt. Aber selbst wenn ich die Ausgangsgleichung mit -x multipliziere, komme ich nicht zu dem Resultat, dass mit y auch -y eine Lösung ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mi 19.01.2022 | | Autor: | fred97 |
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> sin(-a)=-sin(a) ist mir natürlich bekannt, aber den Rest
> verstehe ich noch nicht.
> Wir haben zunächst den Fall x>0 angenommen und jetzt x<0.
> Wieso muss man dann die Gleichung mit -1 multiplizieren?
Meine letzte Antwort bezog sich auf die Frage, warum mit $ [mm] x*\arccos (C-\ln(x))$ [/mm] auch $ [mm] -x*\arccos (C-\ln(x))$ [/mm] eine Lösung ist.
> Ich hätte eher x durch -x ersetzt. Aber selbst wenn ich
> die Ausgangsgleichung mit -x multipliziere, komme ich nicht
> zu dem Resultat, dass mit y auch -y eine Lösung ist.
Das sieht man so:
Ist y eine Lösung, so gilt
$ [mm] 3x\cdot{}y'(x)= \frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+3\cdot{}y(x) [/mm] $
Multiplizieren wir mit $-1$ durch, so bekommen wir:
$ [mm] 3x\cdot{}(-y'(x))=-\frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}+3\cdot{}(-y(x)) [/mm] $.
Es ist
[mm] $-\frac{3x}{\sin( \frac{y(x)}{x})}= \frac{3x}{-\sin( \frac{y(x)}{x})}=\frac{3x}{\sin( \frac{-y(x)}{x})}$
[/mm]
Somit
$ [mm] 3x\cdot{}(-y'(x))=\frac{3x}{\sin( \frac{-y(x)}{x})}+3\cdot{}(-y(x)) [/mm] $
Setzen wir $z:=-y$, so folgt aus der letzten Gleichung
$ [mm] 3x\cdot{}z'(x))=\frac{3x}{\sin( \frac{z(x)}{x})}+3\cdot{}z(x)$
[/mm]
Damit ist $z=-y$ ebenfalls eine Lösung der DGL.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 19.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
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Okay, dankeschön, also ich kann das wohl nachvollziehen, aber wie soll man darauf denn kommen, die Ausgangsgleichung nochmal mit (-1) zu multiplizieren und eine andere Lösung zu suchen, wenn man doch nach langer Rechnung mit y(x)=x*... schon eine Lösung gefunden hat?
Gibt es irgendeine Stelle, an der man sieht, dass man das noch tun muss und die zuvor betrachtete Lösung unvollständig ist? Hat es mit dem zunächst nicht betrachteten Fall x<0 und dem später auftrenden Logarithmus ln(-x) zu tun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:06 Do 20.01.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Okay, dankeschön, also ich kann das wohl nachvollziehen,
> aber wie soll man darauf denn kommen, die Ausgangsgleichung
> nochmal mit (-1) zu multiplizieren und eine andere Lösung
> zu suchen, wenn man doch nach langer Rechnung mit
> y(x)=x*... schon eine Lösung gefunden hat?
Ich habs auch erst später gemerkt, dass mit $y$ auch $-y$ eine Lösung ist.
Es geht auch darum , alle(!) Lösungen zu finden !
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> Gibt es irgendeine Stelle, an der man sieht, dass man das
> noch tun muss und die zuvor betrachtete Lösung
> unvollständig ist?
Das ist eine Sache der Erfahrung und des genauen Hinsehens.
> Hat es mit dem zunächst nicht
> betrachteten Fall x<0 und dem später auftrenden
> Logarithmus ln(-x) zu tun?
Nein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 20.01.2022 | | Autor: | MasterEd |
Sollte man im Ergebnis im Logarithmus dann besser einen Betrag setzen um besser mit dem Fall x<0 umgehen zu können?
Also [mm]y(x)= \pm x*arccos(-ln(|x|)-C)[/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 20.01.2022 | | Autor: | fred97 |
> Sollte man im Ergebnis im Logarithmus dann besser einen
> Betrag setzen um besser mit dem Fall x<0 umgehen zu
> können?
> Also [mm]y(x)= \pm x*arccos(-ln(|x|)-C)[/mm] ?
Ja, dann hast Du alle Lösungen der DGL auf $ [mm] \IR \setminus \{0\}.$
[/mm]
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