Homogenität und Linerarität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 25.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Homogenität bzw. Linearität. Bestimmten Sie im Fall der Linearität die zugehörige Matrix, im Fall der Homogenität den Homogenitätsgrad.
a) [mm] f:\IR^{3}\to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y,z):=\bruch{|x|+|z|}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
[/mm]
b) [mm] g:\IR^{4}\to \IR [/mm] mit [mm] g(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}
[/mm]
c) [mm] h:\IR^{3}\to \IR [/mm] mit [mm] h(x,y,z):=(x+y)^{2}-e^{z}
[/mm]
Hinweis: Geben Sie ausreichende Begründungen! Die Formulierung [mm] "\lambda [/mm] lässt sich (nicht) ausklammern" ist kein Beweis für die (Nicht-)Homogenität einer Funktion! |
Hallo,
habe heute mit dem Thema Homogenität und Lineratät angefangen und hab dort noch ein paar Probleme.
Meine bisherigen Lösungsansätzen sind:
a) [mm] f:\IR^{3}\to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y,z):=\bruch{|x|+|z|}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
[/mm]
[mm] f(\lambda x,\lambda y,\lambda z):=\bruch{|\lambda x|+|\lambda z|}{\wurzel{\lambda x^{2}+\lambda y^{2}+\lambda z^{2}}}=\bruch{\lambda*(|x|+|z|)}{\wurzel{\lambda^{2}*(x^{2}+y^{2}+z^{2}})}=\bruch{\lambda*(|x|+|z|)}{\wurzel{\lambda^{2}}*\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\bruch{\lambda*(|x|+|z|)}{\lambda*\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\bruch{|x|+|z|}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht homogen
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht linear
Keine Ahnung, ob das nun so richtig ist !?
b) [mm] g(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}
[/mm]
[mm] g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3},\lambda x_{4})=\lambda x_{1}+2\lambda x_{2}+3\lambda x_{3}+4\lambda x_{4}=\lambda*(x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] homogen mit Homogenitätsgrad 1
[mm] g(x_{1}+x_{11},x_{2}+x_{22},x_{3}+x_{33},x_{4}+x_{44})=g(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+g(x_{11},x_{22},x_{33},x_{44})
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}+x_{11}+2(x_{2}+x_{22})+3(x_{3}+x_{33})+4(x_{4}+x_{44})=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}+x_{11}+2x_{22}+3x_{33}+4x_{44}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}+x_{11}+2x_{2}+2x_{22}+3x_{3}+3x_{33}+4x_{4}+4x_{44}=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}+x_{11}+2x_{22}+3x_{33}+4x_{44}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0=0
[mm] \Rightarrow [/mm] linear
ich weiß nun nicht, ob das so richtig ist, insbesondere die Schreibweise, man soll ja nun noch die Matrix bestimmen, wie das geht bzw. die aussieht weiß ich auch nicht.
c) [mm] h(x,y,z):=(x+y)^{2}-e^{z}
[/mm]
Hier weiß ich garnicht, was ich machen soll. Die Begründung [mm] \lambda [/mm] lässt sich nicht ausklammern geht ja nicht :).
Wäre nett, wenn mir jemand bei diesen Aufgaben bisschen helfen könnte.
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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Hallo mvs,
> Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Homogenität
> bzw. Linearität. Bestimmten Sie im Fall der Linearität
> die zugehörige Matrix, im Fall der Homogenität den
> Homogenitätsgrad.
>
> a) [mm]f:\IR^{3}\to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y,z):=\bruch{|x|+|z|}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
>
> b) [mm]g:\IR^{4}\to \IR[/mm] mit
> [mm]g(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}[/mm]
>
> c) [mm]h:\IR^{3}\to \IR[/mm] mit [mm]h(x,y,z):=(x+y)^{2}-e^{z}[/mm]
>
> Hinweis: Geben Sie ausreichende Begründungen! Die
> Formulierung [mm]" \lambda$="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \lambda=""> lässt sich (nicht) ausklammern" ist
> kein Beweis für die (Nicht-)Homogenität einer Funktion!
> Hallo,
>
> habe heute mit dem Thema Homogenität und Lineratät
> angefangen und hab dort noch ein paar Probleme.
>
> Meine bisherigen Lösungsansätzen sind:
>
> a) ![$f:\IR^{3}\to \IR[/mm] mit
</font>
<br>
<font class=]() > [mm]f(x,y,z):=\bruch{|x|+|z|}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
>
> [mm]f(\lambda x,\lambda y,\lambda z):=\bruch{|\lambda x|+|\lambda z|}{\wurzel{\lambda x^{2}+\lambda y^{2}+\lambda z^{2}}}=\bruch{\lambda*(|x|+|z|)}{\wurzel{\lambda^{2}*(x^{2}+y^{2}+z^{2}})}=\bruch{\lambda*(|x|+|z|)}{\wurzel{\lambda^{2}}*\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\bruch{\lambda*(|x|+|z|)}{\lambda*\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\bruch{|x|+|z|}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht homogen
bzw. homogen vom Grad 0, wie habt ihr das denn definiert?
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht linear ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beweis? bzw. woraus folgt das?
Beachte, dass oben in deiner Rechnung im Zähler nach dem Ausklammern [mm] $|\lambda|$ [/mm] stehen muss, ebenso im Nenner: [mm] $\sqrt{\lambda^2}=|\lambda|$ [/mm] !
>
> Keine Ahnung, ob das nun so richtig ist !?
>
> b) [mm]g(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}[/mm]
>
> [mm]g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3},\lambda x_{4})=\lambda x_{1}+2\lambda x_{2}+3\lambda x_{3}+4\lambda x_{4}=\lambda*(x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] homogen mit Homogenitätsgrad 1
>
> [mm]g(x_{1}+x_{11},x_{2}+x_{22},x_{3}+x_{33},x_{4}+x_{44})=g(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+g(x_{11},x_{22},x_{33},x_{44})[/mm]
>
> [mm]\gdw x_{1}+x_{11}+2(x_{2}+x_{22})+3(x_{3}+x_{33})+4(x_{4}+x_{44})=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}+x_{11}+2x_{22}+3x_{33}+4x_{44}[/mm]
>
> [mm]\gdw x_{1}+x_{11}+2x_{2}+2x_{22}+3x_{3}+3x_{33}+4x_{4}+4x_{44}=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}+x_{11}+2x_{22}+3x_{33}+4x_{44}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] linear
>
> ich weiß nun nicht, ob das so richtig ist, insbesondere
> die Schreibweise,
Äquivalenzumformungen sind in Ordnung, ich persönlich würde es aber in einer Gleichheitskette von links nach rechts geradeheraus ausrechnen
> man soll ja nun noch die Matrix
> bestimmen, wie das geht bzw. die aussieht weiß ich auch
> nicht.
Wie bestimmt man denn üblicherweise die Abb.matrix einer linearen Abb. (bzgl. gegebener Basen)?
Was steht in den Spalten? Wie war das noch ...
Gib dir hier der Einfachheit halber die Standardbasen in beiden Räumen vor. Bedenke, dass die Abb.matrix einer linearen Abb. [mm] $\varphi:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] vom Format [mm] $m\times [/mm] n$ ist, hier hast du also eine [mm] $1\times [/mm] 4$-Matrix
>
> c) [mm]h(x,y,z):=(x+y)^{2}-e^{z}[/mm]
>
> Hier weiß ich garnicht, was ich machen soll. Die
> Begründung [mm]\lambda[/mm] lässt sich nicht ausklammern geht ja
> nicht :).
Vllt. geht's so:
Nimm an, die Abb, in c) wäre homogen vom Grad k, dann müsste gelten
[mm] $h(\lambda(x,y,z))=\lambda^kf(x,y,z)$
[/mm]
Und [mm] $h(\lambda(x,y,z))=\lambda^2(x+y)^2-\left(e^z\right)^{\lambda}$
[/mm]
Da müsste $k=2$ sein und gelten [mm] $\left(e^z\right)^{\lambda}=\lambda^2 e^z$
[/mm]
Kann das sein?
>
> Wäre nett, wenn mir jemand bei diesen Aufgaben bisschen
> helfen könnte.
>
Gruß
schachuzipus
> Vielen Dank im voraus.
>
> Gruß,
> mvs
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 27.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo schachuzipus, danke für deine Hilfe.
> bzw. homogen vom Grad 0, wie habt ihr das denn definiert?
Keine Ahnung, ich bring mir alles soweit selbst bei :), muss mich mal bei Kommilitonen schlau machen.
> > [mm]\Rightarrow[/mm] nicht linear
>
> Beweis? bzw. woraus folgt das?
nicht linear, da Homogenitätsgrad = 0, und somit [mm] \not=1
[/mm]
> Beachte, dass oben in deiner Rechnung im Zähler nach dem
> Ausklammern [mm]|\lambda|[/mm] stehen muss, ebenso im Nenner:
> [mm]\sqrt{\lambda^2}=|\lambda|[/mm] !
Habs nochmals nun gerechnet und richtig gemacht, war ein Flüchtigkeitsfehler.
> Wie bestimmt man denn üblicherweise die Abb.matrix einer
> linearen Abb. (bzgl. gegebener Basen)?
>
> Was steht in den Spalten? Wie war das noch ...
>
> Gib dir hier der Einfachheit halber die Standardbasen in
> beiden Räumen vor. Bedenke, dass die Abb.matrix einer
> linearen Abb. [mm]\varphi:\IR^n\to\IR^m[/mm] vom Format [mm]m\times n[/mm]
> ist, hier hast du also eine [mm]1\times 4[/mm]-Matrix
Dann müsste die Matrix so aussehen: [mm] \vektor{1 2 3 4}
[/mm]
> Vllt. geht's so:
>
> Nimm an, die Abb, in c) wäre homogen vom Grad k, dann
> müsste gelten
>
> [mm]h(\lambda(x,y,z))=\lambda^kf(x,y,z)[/mm]
>
> Und
> [mm]h(\lambda(x,y,z))=\lambda^2(x+y)^2-\left(e^z\right)^{\lambda}[/mm]
>
> Da müsste [mm]k=2[/mm] sein und gelten
> [mm]\left(e^z\right)^{\lambda}=\lambda^2 e^z[/mm]
>
> Kann das sein?
Kann nicht sein, daher nicht homogen, und auch nicht linear, weil Homogenitätsgrad [mm] \not=1
[/mm]
Stimmt das nun alles soweit?
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Di 28.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus, danke für deine Hilfe.
>
>
> > bzw. homogen vom Grad 0, wie habt ihr das denn definiert?
>
> Keine Ahnung, ich bring mir alles soweit selbst bei :),
> muss mich mal bei Kommilitonen schlau machen.
>
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] nicht linear
> >
> > Beweis? bzw. woraus folgt das?
>
> nicht linear, da Homogenitätsgrad = 0, und somit [mm]\not=1[/mm]
>
> > Beachte, dass oben in deiner Rechnung im Zähler nach dem
> > Ausklammern [mm]|\lambda|[/mm] stehen muss, ebenso im Nenner:
> > [mm]\sqrt{\lambda^2}=|\lambda|[/mm] !
>
> Habs nochmals nun gerechnet und richtig gemacht, war ein
> Flüchtigkeitsfehler.
>
> > Wie bestimmt man denn üblicherweise die Abb.matrix einer
> > linearen Abb. (bzgl. gegebener Basen)?
> >
> > Was steht in den Spalten? Wie war das noch ...
> >
> > Gib dir hier der Einfachheit halber die Standardbasen in
> > beiden Räumen vor. Bedenke, dass die Abb.matrix einer
> > linearen Abb. [mm]\varphi:\IR^n\to\IR^m[/mm] vom Format [mm]m\times n[/mm]
> > ist, hier hast du also eine [mm]1\times 4[/mm]-Matrix
>
> Dann müsste die Matrix so aussehen: [mm]\vektor{1 2 3 4}[/mm]
O.K.
>
> > Vllt. geht's so:
> >
> > Nimm an, die Abb, in c) wäre homogen vom Grad k, dann
> > müsste gelten
> >
> > [mm]h(\lambda(x,y,z))=\lambda^kf(x,y,z)[/mm]
> >
> > Und
> >
> [mm]h(\lambda(x,y,z))=\lambda^2(x+y)^2-\left(e^z\right)^{\lambda}[/mm]
> >
> > Da müsste [mm]k=2[/mm] sein und gelten
> > [mm]\left(e^z\right)^{\lambda}=\lambda^2 e^z[/mm]
> >
> > Kann das sein?
>
> Kann nicht sein, daher nicht homogen
O.K.
> , und auch nicht
> linear, weil Homogenitätsgrad [mm]\not=1[/mm]
... weil gar kein Homogenitätsgrad ............ !!
FRED
>
> Stimmt das nun alles soweit?
>
> Vielen Dank im voraus.
>
> Gruß,
> mvs
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Di 28.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke FRED
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