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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Do 22.10.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Seien A, B integre Ringe und sei [mm] \varphi: [/mm] A [mm] \to [/mm] B ein injektiver Homomorphismus. Dann setzt sich [mm] \varphi [/mm] auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus [mm] \tilde \varphi: [/mm] Quot(A) [mm] \to [/mm] Quot(B) der Quotientenkörper fort. |
Hallo.
Ich bin gerade an obiger Aufgabe. Mir ist leider nicht bekannt, was es heißt "eine Abbildung setzt sich zu einem Homomorphismus fort". Was heißt das, was ist da zu zeigen?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 23.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> Seien A, B integre Ringe und sei [mm]\varphi:[/mm] A [mm]\to[/mm] B ein
> injektiver Homomorphismus. Dann setzt sich [mm]\varphi[/mm] auf
> genau eine Weise zu einem Homomorphismus [mm]\tilde \varphi:[/mm]
> Quot(A) [mm]\to[/mm] Quot(B) der Quotientenkörper fort.
>
> Hallo.
> Ich bin gerade an obiger Aufgabe. Mir ist leider nicht
> bekannt, was es heißt "eine Abbildung setzt sich zu einem
> Homomorphismus fort". Was heißt das, was ist da zu
> zeigen?
Du sollst zeigen, dass es (genau einen!) Homomorphismus von Koerpern [mm] $\tilde{\varphi} [/mm] : Quot(A) [mm] \to [/mm] Quot(B)$ mit [mm] $\tilde{\varphi}|_A [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] gibt.
(Je nachdem wie ihr Quotientenkoerper definiert habt ist das sehr einfach, z.B. wenn ihr sie ueber die universelle Eigenschaft definiert habt.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 27.10.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Seien A,B integre Ringe und sei [mm] \varphi: [/mm] A [mm] \to [/mm] B ein injektiver Homomorphismus. Dann setzt sich [mm] \varphi [/mm] auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus [mm] \tilde \varphi: [/mm] Quot(A) [mm] \to [/mm] Quot(B) der Quotientenkörper fort. |
Hallo.
Ich brüte schon einige Zeit über dieser Aufgabe, aber mir fehlt jeglicher Ansatz. Es muss gezeigt werden, dass es genau eine Abbildung [mm] \tilde \varphi: [/mm] Quot(A) [mm] \to [/mm] Quot(B) gibt mit [mm] \tilde \varphi |_A=\varphi
[/mm]
Als Tipp haben wir bekommen, dass man die universelle Eigenschaft benutzen müssen. Hat jemand einen Hinweis oder Tipp oder Ansatz für mich?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien A,B integre Ringe und sei [mm]\varphi:[/mm] A [mm]\to[/mm] B ein
> injektiver Homomorphismus. Dann setzt sich [mm]\varphi[/mm] auf
> genau eine Weise zu einem Homomorphismus [mm]\tilde \varphi:[/mm]
> Quot(A) [mm]\to[/mm] Quot(B) der Quotientenkörper fort.
> Hallo.
> Ich brüte schon einige Zeit über dieser Aufgabe, aber
> mir fehlt jeglicher Ansatz. Es muss gezeigt werden, dass es
> genau eine Abbildung [mm]\tilde \varphi:[/mm] Quot(A) [mm]\to[/mm] Quot(B)
> gibt mit [mm]\tilde \varphi |_A=\varphi[/mm]
> Als Tipp haben wir
"Tipp", soso.
> bekommen, dass man die universelle Eigenschaft benutzen
> müssen. Hat jemand einen Hinweis oder Tipp oder Ansatz
> für mich?
Beachte:
1. Jedes Element aus $Quot(A)$ hat die Form $a/b$ mit $a, b [mm] \in [/mm] A$, $b [mm] \neq [/mm] 0$.
2. Ist [mm] $\psi [/mm] : K [mm] \to [/mm] L$ ein Ringhomomorphismus, $K$ ein Koerper, und sind $a, b [mm] \in [/mm] K$, $b [mm] \neq [/mm] 0$, so gilt [mm] $\psi(a/b) [/mm] = [mm] \psi(a) \psi(b)^{-1}$.
[/mm]
3. Es soll ja [mm] $\tilde{\varphi}|_A [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] gelten.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 29.10.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | A,B integre Ringe, [mm] \varphi: [/mm] A [mm] \to [/mm] B injektiver Homomorphismus. Dann setzt sich [mm] \varphi [/mm] auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus [mm] \tilde \varphi: [/mm] Quot(A) [mm] \to [/mm] Quot(B) der Quotientenkörper fort |
Hallo.
Ich habe ein paar Fragen zur obigen Aufgabe.
Ich bin so vorgegangen: 1. definiere eine Abbildung [mm] \gamma [/mm] : A [mm] \to [/mm] Quot(B) durch [mm] \gamma [/mm] = [mm] \Phi_2 \circ \varphi \circ \gamma [/mm] ist als Verkettung von Ringhomomorphismen wieder ein Ringhomomorphismus. Frage: warum ist [mm] \gamma [/mm] eindeutig, wie kann ich das zeigen?
2.Ich muss zeigen, dass [mm] \gamma(s) \subseteq [/mm] Quot(B)* - das ist ok, denn Quot(B) ein Körper ist und in jedem Körper jedes Element eine Einheit ist. Stimmt das als Beweis?
3.Wenn die Bedingungen aus 1. und 2. gelten, dann gibt es nach einem Satz in unserer Vorlesung (der sich aber auf Ringhomomorphismen von Ringen A [mm] \to [/mm] B bezieht) genau ein Homomorphismus [mm] \tilde \varphi: [/mm] Quot(A) [mm] \to [/mm] Quot(B). Kann ich den Satz anwenden, auch wenn Quot(B) ein Körper ist (und der Satz sich ja auf Ringe bezieht)?
4. Sei [mm] \Phi_1: [/mm] A [mm] \to [/mm] Quot(A). Dann ist [mm] \varphi=\Phi_1 \circ \varphi \circ \Phi_1^{-1}.
[/mm]
5. Zeige [mm] \tilde \varphi |_A [/mm] = [mm] \varphi: [/mm] dabei komme ich für [mm] \tilde \varphi [/mm] auf zwei Vorschriften, nämlich: [mm] \tilde \varphi(\bruch{a}{s})=\gamma(a)\gamma(s)^{-1} [/mm] und [mm] \tilde \varphi(\bruch{a}{s})=\Phi_2 \circ \varphi \circ \Phi_1^{-1}(\bruch{a}{s}) [/mm] - sind die beiden dieselben?
6. warum gilt [mm] \Phi_1(s^{-1})=\Phi_1(s)^{-1}?
[/mm]
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Fr 30.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> A,B integre Ringe, [mm]\varphi:[/mm] A [mm]\to[/mm] B injektiver
> Homomorphismus. Dann setzt sich [mm]\varphi[/mm] auf genau eine
> Weise zu einem Homomorphismus [mm]\tilde \varphi:[/mm] Quot(A) [mm]\to[/mm]
> Quot(B) der Quotientenkörper fort
>
> Hallo.
> Ich habe ein paar Fragen zur obigen Aufgabe.
> Ich bin so vorgegangen: 1. definiere eine Abbildung [mm]\gamma[/mm]
> : A [mm]\to[/mm] Quot(B) durch [mm]\gamma[/mm] = [mm]\Phi_2 \circ \varphi \circ \gamma[/mm]
Was ist [mm] $\Phi_2$ [/mm] und was ist [mm] $\gamma$? [/mm] Ich glaube zumindest nicht, dass das so geht, da du z.B. im Fall $A = B = [mm] \IZ$ [/mm] und [mm] $\varphi(x) [/mm] = x$ (Identitaet) die Identitaetsabbildung [mm] $\IQ \to \IQ$ [/mm] niemals als Verkettung von anderen Funktionen mit [mm] $\varphi$ [/mm] schreiben kannst: das Bild ist immer [mm] $\IZ$ [/mm] und niemals ganz [mm] $\IQ$.
[/mm]
> ist als Verkettung von Ringhomomorphismen wieder ein
> Ringhomomorphismus. Frage: warum ist [mm]\gamma[/mm] eindeutig, wie
> kann ich das zeigen?
Was ist [mm] $\gamma$ [/mm] ueberhaupt?
> 2.Ich muss zeigen, dass [mm]\gamma(s) \subseteq[/mm] Quot(B)* - das
> ist ok, denn Quot(B) ein Körper ist und in jedem Körper
> jedes Element eine Einheit ist. Stimmt das als Beweis?
Jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ ist eine Einheit. Und was ist $s$?
> 3.Wenn die Bedingungen aus 1. und 2. gelten, dann gibt es
> nach einem Satz in unserer Vorlesung (der sich aber auf
> Ringhomomorphismen von Ringen A [mm]\to[/mm] B bezieht) genau ein
> Homomorphismus [mm]\tilde \varphi:[/mm] Quot(A) [mm]\to[/mm] Quot(B). Kann
> ich den Satz anwenden, auch wenn Quot(B) ein Körper ist
> (und der Satz sich ja auf Ringe bezieht)?
Wenn welche Bedingungen gelten?
> 4. Sei [mm]\Phi_1:[/mm] A [mm]\to[/mm] Quot(A). Dann ist [mm]\varphi=\Phi_1 \circ \varphi \circ \Phi_1^{-1}.[/mm]
So stimmt das ganz sicher nicht.
> 5. Zeige [mm]\tilde \varphi |_A[/mm] = [mm]\varphi:[/mm] dabei komme ich für
> [mm]\tilde \varphi[/mm] auf zwei Vorschriften, nämlich: [mm]\tilde \varphi(\bruch{a}{s})=\gamma(a)\gamma(s)^{-1}[/mm]
Was ist [mm] $\gamma$????
[/mm]
Definiere doch einfach [mm] $\tilde{\varphi}(\frac{a}{s}) [/mm] = [mm] \varphi(a) \varphi(a)^{-1}$ [/mm] und pruefe nach, dass dies ein wohldefinierter Ringhomomorphismus ist.
LG Felix
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