Homomorphismen Z_6 in V_4 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 So 18.05.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | | Man bestimme alle Homomorphismen der [mm] Z_6 [/mm] in die [mm] V_4 [/mm] (Kleinersche Vierergruppe) |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu Homomorphismen zwischen zwei Gruppen.
Wie gehe ich da vor???
Normalteiler von [mm] Z_6 [/mm] und von [mm] V_4 [/mm] bestimmen und dann die Faktorgruppen bilden?
Muss ich hier auf die Teiler achten? Also [mm] Z_6 [/mm] hat 1,2,3 und 6 als Teiler aber [mm] V_4 [/mm] nur 1,2 und 4.
Wie gehe ich das ganze am besten an?
Vielen vielen Dank!
mfg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=103266&start=0&lps=751481#v751481]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mo 19.05.2008 | | Autor: | statler |
> Man bestimme alle Homomorphismen der [mm]Z_6[/mm] in die [mm]V_4[/mm]
> (Kleinersche Vierergruppe)
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine Frage zu Homomorphismen zwischen zwei
> Gruppen.
> Wie gehe ich da vor???
>
> Normalteiler von [mm]Z_6[/mm] und von [mm]V_4[/mm] bestimmen und dann die
> Faktorgruppen bilden?
>
> Muss ich hier auf die Teiler achten? Also [mm]Z_6[/mm] hat 1,2,3 und
> 6 als Teiler aber [mm]V_4[/mm] nur 1,2 und 4.
>
> Wie gehe ich das ganze am besten an?
Das gehst du am besten so an, daß du dir überlegst, was das Bild eines erzeugenden Elementes von Z6 sein kann. Und dann klärst du, ob das durch Fortsetzung mittels der Funktionalgleichung zu einem Homomorphismus führt. (Antwort: In diesem Fall ja.)
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=103266&start=0&lps=751481#v751481]
Das löst hier keine Begeisterung aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 21.05.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Nun, so ganz habe ich das nicht verstanden <= die ganze Materie ist ziemlich neu und deswegen noch relativ abstrakt für mich.
Btw.:
Du meinst mit Funktionalgleichung folgendes:
[mm] \phi(a \circ_{Z_6} [/mm] b) = [mm] \phi(a) \circ_{V_4} \phi(b)
[/mm]
???
Du meinst also, dass ich die Faktorgruppen von [mm] Z_6 [/mm] ermittle und dann mittels der obigen Gleichung den Homomorphismus nachweise.
ich "glaube" dass die Faktorgruppe das selbe ist wie das Bild.
Faktorgruppenbildung:
1) Erstellung der Untergruppen [mm] U_i [/mm] (ich nehme aber dann nur Gruppen der Ordnung 2 - für die Ordnung 1 gilt ja sowieso der triviale Homomorphismus 1 -> 1)
2) Linksnebenklassen bilden
[mm] Z_6 [/mm] nach [mm] U_i [/mm] muss ja eine Menge von Linksnebenklassen ergeben
4) Nun untersuche ich eine Linksnebenklasse nach der anderen mit obiger Gleichung und überprüfe ob auch die [mm] V_4 [/mm] auf das selbe Element abbildet. Wenn dies zutrifft habe ich eine homomorphe Abbildung gefunden?
Vielen Dank für deine Mühe.
mfg
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> Du meinst mit Funktionalgleichung folgendes:
> [mm]\phi(a \circ_{Z_6}[/mm] b) = [mm]\phi(a) \circ_{V_4} \phi(b)[/mm]
> ???
Hallo,
ich bin zwar nicht der Dieter, aber ich bin mir sehr sicher, daß er das meint.
>
>
> Du meinst also, dass ich die Faktorgruppen von [mm]Z_6[/mm] ermittle
Hmm. Ich bin von etwas schlichtem Gemüte: ich weiß gar nicht, warum Du hier mit Faktorgruppen herumwurschteln möchtest.
Ich gehe mal davon aus, daß Dir die Gruppen [mm] \IZ_6 [/mm] und [mm] V_4 [/mm] wohlbekannt sind.
Dann verrate ich kein Geheimnis, wenn ich sage, daß [mm] \IZ_6 [/mm] zyklisch ist, also ein erzeugendes Element hat.
In dem Moment, in welchem Du einem erzeugenden Element einen Funktionswert zuweist (hierfür hast Du ja nicht viele Möglichkeiten), steht doch der Homomorphismus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 21.05.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo Angela!
Es handelt sich bei [mm] Z_6 [/mm] zwar nicht um [mm] \IZ_6 [/mm] aber das ganze ist auch zyklisch. Ich tue mir irrsinnig schwer bei der Zuordnung - noch nie gemacht und leider noch keine Anleitung gefunden wie man das am besten angeht.
also zu den Gruppen:
[mm] V_4:
[/mm]
1 a b c
-------------
[mm] 1\| [/mm] 1 a b c
[mm] a\| [/mm] a 1 c b
[mm] b\| [/mm] b c 1 a
[mm] c\| [/mm] c b a 1
[mm] Z_6:
[/mm]
1 a b c d f
------------------
[mm] 1\| [/mm] 1 a b c d f
[mm] a\| [/mm] a b c d f 1
[mm] b\| [/mm] b c d f 1 a
[mm] c\| [/mm] c d f 1 a b
[mm] d\| [/mm] d f 1 a b c
[mm] f\| [/mm] f 1 a b c d
Leider habe ich das in der VO nicht komplett mitbekommen aber ich bilde mir ein, dass gesagt wurde dass es nur den trivialen Homomorphismus gibt.
mfg
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> Es handelt sich bei [mm]Z_6[/mm] zwar nicht um [mm]\IZ_6[/mm]
Hallo,
???
> aber das ganze
> ist auch zyklisch.
Du hast eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 vorliegen, so, wie Du sie aufgeschrieben hast, wird sie erzeugt von dem Element a.
> also zu den Gruppen:
>
> [mm]V_4:[/mm]
>
> 1 a b c
> -------------
> [mm]1\|[/mm] 1 a b c
> [mm]a\|[/mm] a 1 c b
> [mm]b\|[/mm] b c 1 a
> [mm]c\|[/mm] c b a 1
>
> [mm]Z_6:[/mm]
>
> 1 a b c d f
> ------------------
> [mm]1\|[/mm] 1 a b c d f
> [mm]a\|[/mm] a b c d f 1
> [mm]b\|[/mm] b c d f 1 a
> [mm]c\|[/mm] c d f 1 a b
> [mm]d\|[/mm] d f 1 a b c
> [mm]f\|[/mm] f 1 a b c d
>
> Leider habe ich das in der VO nicht komplett mitbekommen
> aber ich bilde mir ein, dass gesagt wurde dass es nur den
> trivialen Homomorphismus gibt.
Ich denke, daß Du da etwas mißverstanden hast.
Ist Dir klar, daß der Homomorphismus f: [mm] \IZ_6\to V_4 [/mm] mit der Zuweisung f(a):=irgendwas festliegt?
Wieviele Möglichkeiten hast Du nun, dem Element a einen Funktionswert zuzuweisen? (Wieviele Elemente sind in [mm] V_4?) [/mm]
Nun prüfe, ob die so gewonnenen Homomorphismuskandidaten Homomorphismen sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:41 Sa 24.05.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo Angela!
Nun es gibt 4 Möglichkeiten, da [mm] V_4, [/mm] viel Elemente hat.
Ist es so dass man von [mm] Z_6 [/mm] nur das erzeugende Element für den Homomorphismus verwendet? Oder muss man dies mit jedem Element durchführen? (kam leider nicht bis zu mir durch - in der VO).
also:
h(a) := 1
=> h(x) = 1, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in Z_6
[/mm]
h(a) := a
[mm] h(a^2) [/mm] = h(b) := 1
[mm] h(a^3) [/mm] = h(c) := a
[mm] h(a^4) [/mm] = h(d) := 1
[mm] h(a^5) [/mm] = h(f) := a
[mm] h(a^6) [/mm] = h(1) := 1
h(a) := b
[mm] h(a^2) [/mm] = h(b) := 1
[mm] h(a^3) [/mm] = h(c) := b
[mm] h(a^4) [/mm] = h(d) := 1
[mm] h(a^5) [/mm] = h(f) := b
[mm] h(a^6) [/mm] = h(1) := 1
h(a) := c
[mm] h(a^2) [/mm] = h(b) := 1
[mm] h(a^3) [/mm] = h(c) := c
[mm] h(a^4) [/mm] = h(d) := 1
[mm] h(a^5) [/mm] = h(f) := c
[mm] h(a^6) [/mm] = h(1) := 1
Es gibt also folgende "Kandidanten":
h(a) := a
[mm] h:Z_6 [/mm] -> {1,a}
h(a) := b
[mm] h:Z_6 [/mm] -> {1,b}
h(a) := c
[mm] h:Z_6 [/mm] -> {1,c}
h(a) := 1
[mm] h:Z_6 [/mm] -> {1}
Ist nun die Eigenschaft eines solchen Kandidaten, dass er wiederum die gesamte Gruppe erzeugt? Oder wie ist der Homomorphismuskandidat charakterisiert?
Was ist eigentlich der Unterschied bei folgender Fragestellung:
alle Homomorphismen von [mm] Z_6 [/mm] IN [mm] V_4
[/mm]
und
alle Homomorphismen von [mm] Z_6 [/mm] AUF [mm] V_4
[/mm]
Vielen vielen dank!
lg
uniklu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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