Homomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (G, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe. Betrachte die Abbildung f : G [mm] \to [/mm] G, x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \circ [/mm] x.
Zeige: f ist genau dann ein Homomorphismus, wenn G kommutativ. |
Hallo,
Ich weiss leider nicht genau wie die Behaupting zeigen soll.
Eine Funktion f: A [mm] \mapsto [/mm] B heißt doch Homomorphismus, wenn für alle Elemente x, y von A gilt: f(x · y) = f(x) · f(y).
Wenn ich davon ausgehe, dass G kommutativ ist, wie kann ich dann mit der definition die Behauptung beweisen??
oder ist die Definition falsch??
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
NAthematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 16.05.2006 | | Autor: | Scholli |
Die Definition ist schon richtig. Zu zeigen ist also, dass f(xy)=f(x)f(y) gilt.
Jetzt bilde einfach mal f(xy), das ist ja nach deiner Abbildungsvorschrift (xy)(xy), und wenn das Kommutativgesetz gilt, ist das gleich (xx)(yy), was wiederum f(x)f(y) ist. (weil ja f(x)=(xx) und f(y)=(yy) nach Abb-Vorschr.)
So einfach ist das :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Di 16.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen !
es fehlt natürlich noch die andere Richtung, aber die geht genauso leicht:
wegen der linearität gilt ja $xyxy=xxyy$
und dann einmal von links mit [mm] $x^{-1}$ [/mm] und von rechts mit [mm] $y^{-1}$ [/mm] verknüpfen...
(existieren wegen Gruppe G )
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
danke für die Antworten,
aber leider verstehe ich die Antwort von DaMenge noch nicht so richtig,
mir ist klar dass man die andere richtung noch zeigen müsste,
aber wie er es macht ist mir unklar, und zwar besonders
> und dann einmal von links mit [mm]x^{-1}[/mm] und von rechts mit
> [mm]y^{-1}[/mm] verknüpfen...
> (existieren wegen Gruppe G )
der Teil.
könntest du oder auch jemand anders mir noch mal erklären??
MFG
nathenatiker
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Guten Morgen !
DaMenge hat so argumentiert:
f ist Homomorphismus, d.h. es gilt nach Def. von Gruppenhomomorphismen
[mm] f(x\cdot y)=f(x)\cdot [/mm] f(y).
Jetzt setz links und rechts die Def. von f ein, multipliziere linke und rechte Seite der Gleichung von links mit [mm] x^{-1} [/mm] und von rechts mit [mm] y^{-1}
[/mm]
(diese Elemente existieren, da G eine Gruppe ist, so schreibt DaMenge das), und dann schau halt, was dann da steht.
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 17.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi, ich antworte auch nochmal etwas ausführlicher 
Also bei Gleichungen kann man ja auf beiden Seiten etwas dazu multiplizieren als Äquivalenzumformung (solange es nicht 0 ist..)
Bei Gruppen ist es erstmal nicht das gleiche, ob man von links oder von rechts multipliziert, deshalb muss man es extra dazu sagen - aber solange man es auf beiden Seiten macht, ist es auch ok.
also :
$ xyxy=xxyy $
dann von links mit [mm] $x^{-1}$ [/mm] multiplizieren ergibt:
$ [mm] x^{-1}*xyxy=x^{-1}*xxyy [/mm] $
dann hebt sich aber [mm] $x^{-1}*x=1$ [/mm] auf und man kann es als neutrales Element weg lassen:
$ yxy=xyy $
Jetzt noch von rechts mit [mm] $y^{-1}$ [/mm] multiplizieren und nochmal kürzen, dann steht das da, was du haben willst.
Beachte, dass man hierdurch keine Elemente innerhalb des Produktes vertauscht hat - dies darf man erst, wenn man weiß, dass die Gruppe kommutativ/abelsch ist...
viele Grüße
DaMenge
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