Homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 So 18.11.2007 | | Autor: | Luuly |
Hallo,
Aufgabe: [mm] \IZ[i] [/mm] sei der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen a + bi. [mm] \IZ \to \IZ[i] [/mm] sei die identische Einlagerung. Betrachte die kombinierte Abbildung
f: [mm] \IZ \to \IZ[i] \to \IZ[i]/I [/mm] wobei I= [mm] \IZ[i] [/mm] *(1+3i) das Hauptideal aller Vielfachen von 1+3i.
Zeige, das f ein Ringhomomorphismus sein muss.
Kann jemand mir bitte erklären, was die identische Einlagerung ist und wie kann ich allgemein zeigen, dass die Kombination von 2 Ringhomomorphismen ein Ringhomomorphismus ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Luuly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
mit identischer einlagerung ist hier wohl einfach die inklusion gemeint: da [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] mit den selben verknüpfungen wie in [mm] $\mathbb{Z}[i]$ [/mm] ein ring mit der selben $1$ ist, kann man [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] als teilring von [mm] $\mathbb{Z}[i]$ [/mm] auffasen und die inklusionsabbildung [mm] $\iota_\mathbb{Z}: \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}[i]; \; [/mm] a [mm] \longmapsto [/mm] a + 0i$ ist ein ringhomomorphismus (wie man leicht verifiziert). wie ist denn die abbildung [mm] $\mathbb{Z}[i] \longrightarrow \mathbb{Z}[i]/I$ [/mm] definiert? soll das die kanonische projektion sein? für beliebige abbildungen ist die aussage natürlich falsch.
um zu zeigen, dass die verkettung von zwei ringhomomorphismen wieder ein ringhomomorphismus ist, muss man einfach nur die definitionen ausnützen und einsetzen, das sollte ganz einfach sein. zeig mal, wie weit du damit gekommen bist und gib zumindest mal eure definition an.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 18.11.2007 | | Autor: | Luuly |
Hallo,
h: $ [mm] \mathbb{Z}[i] \longrightarrow \mathbb{Z}[i]/I [/mm] $
[mm] a+ib\to[a+ib]
[/mm]
d.h. das Ringelement wird auf die Äquivalenzklasse abgebildet.
Soll ich zeigen, dass die beiden Abbildungen [mm] \IZ \to \IZ[i] [/mm] und [mm] \IZ[i] \to \IZ[i]/I [/mm] Homomorphismen sind? Und ist das damit fertig?
LG
Luuly
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm][i][i]Soll ich zeigen, dass die beiden Abbildungen [mm]\IZ \to \IZ[i][/mm] [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]und [mm]\IZ[i] \to \IZ[i]/I[/mm] Homomorphismen sind?
ja. wenn du dann noch zeigst / weißt, dass die verkettung von ringhomomorphismen wieder ein ringhomomorphismus ist, bist du fertig.
grüße
andreas
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