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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Di 18.12.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die Abbildung linear ist:
[mm] \mu: \produkt_{k} (\IR) \to (\IR), \mu(p) [/mm] := p(1) |
Hallo zusammen,
mein Problem bei der Aufgabe besteht darin, dass ich schon mal genrell überhaupt nicht kapiere, was für eine Abbildung ich hier habe.
Ich weiß, dass [mm] \produkt_{k} (\IR) [/mm] irgendwas mit der Menge der Polynome über [mm] \IR [/mm] zu tun haben muss und dass das Bild p(1) irgendein Polynom an der Stelle 1 sein muss. Aber sonst tun sich mir bei dieser Darstellung nur dunkle Wolken auf.
Da ich die griechischen Buchstaben mit dem Formleditor nicht richtig hinbekomme, habe ich noch ein Bildchen in den Anhang gelegt.
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen?
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Entscheiden Sie, ob die Abbildung linear ist:
> [mm]\mu: \produkt_{k} (\IR) \to (\IR), \mu(p)[/mm] := p(1)
> Hallo zusammen,
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> mein Problem bei der Aufgabe besteht darin, dass ich schon
> mal genrell überhaupt nicht kapiere, was für eine Abbildung
> ich hier habe.
Hallo,
und für uns machst Du ein nettes Ratespielchen daraus...
Sinnigerweise hättest Du mal im Skript oder sonstigen Vorlesungsunterlagen nachgeschaut, was es mit dem ominösen
[mm] {\produkt}_k
[/mm]
auf sich hat.
Aber wir sind hier hart im Nehmen und außerdem Hellseher, und deshalb vermute ich folgendes:
mit [mm] {\produkt}_{k} (\IR) [/mm] sind die Plynome mit Höchstgrad k und Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] gemeint, paßt das?
Also die Polynome der Gestalt [mm] p=\summe_{i=1}^{k}a_ix^i [/mm] mit [mm] a_i\in \IR.
[/mm]
Betrachten sollst Du nun die Abbildung [mm] \mu, [/mm] welche folgendes tut: sie ordnet jedem Polynom dessen Funktionswert an der Stelle 1 zu, also ist
[mm] \mu [/mm] (p):=p(1) für alle [mm] p\in {\produkt}_{k} (\IR) [/mm] .
Die Linearität dieser Abbildung ist nun zu untersuchen.
Du mußt also nachschauen, ob für alle [mm] p,q\in {\produkt}_{k} (\IR) [/mm] und [mm] \lambda\in \IR [/mm] gilt
[mm] \mu (p+q)=\mu (p)+\mu [/mm] (q)
und
[mm] \mu (\lambda p)=\lambda \mu [/mm] (p)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 19.12.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo Angela,
tolle Sache das mit dem Hellsehen und gut auch, dass Ihr härter im Nehmen seid, als ich. Und Deine Antwort passt!
Ich wollte auch kein Rätselspielchen draus machen und hätte mich schnell mal auf unser Skript bezogen, wenn wir denn eines hätten. In der Vorlesung hatten wir auch wohl schon mal die Menge der Polynome, aber die hatten dann immer andere Indizes, so dass ich einfach mit diesem k nix anfangen konnte. Sorry!
Wie Linearitär grundsätzlich zu prüfen ist weiß ich, aber ich hatte hier so meine Schwierigkeiten mit der Zuordnung, die $ [mm] \mu [/mm] $ vornimmt.
Auf jeden Fall hast Du mir sehr geholfen und ich mache einen höchst dankbaren Kniefall!
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