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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Do 27.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Leute.
Ich hab hier ne Aufgabe gelöst könnt ihr mal gucken ob das so stimmt?
Also erstmal die Aufgabe:
[mm] \gamma [/mm] : V [mm] \to [/mm] W sei ein surjektiver Homomorphismus von K-Vektorräumen. Wir definieren für beliebige K-Vektorräume Z eine Abbildung
[mm] \delta_{z} [/mm] : [mm] Hom_{K}(Z, [/mm] V ) [mm] \to Hom_{K}(Z,W)
[/mm]
durch [mm] \delta_{z} (\lambda) [/mm] := [mm] \gamma [/mm] * [mm] \lambda. [/mm]
Zeigen Sie, dass dann auch [mm] \delta_{z} [/mm] ein surjektiver Homomorphismus
von K-Vektorräumen ist.
also hier mein Vorschlag:
[mm] \nu [/mm] : Z [mm] \to [/mm] V
[mm] \gamma [/mm] : V [mm] \to [/mm] W
[mm] \delta_{z}: Hom_{k}(Z,V) \in \nu \to Hom_{K}(Z,W) \in \pi
[/mm]
[mm] \nu_{1}, \nu_{2} \in Hom_{k}(Z,V)
[/mm]
[mm] \delta_{z}(\nu_{1} [/mm] * [mm] \nu_{2}) [/mm] = [mm] \gamma* (\nu_{1} [/mm] * [mm] \nu_{2}) [/mm] = [mm] (\gamma [/mm] * [mm] \nu_{1}) [/mm] * [mm] (\gamma [/mm] * [mm] \nu_{2}) [/mm] = [mm] \delta_{z}(\nu_{1}) [/mm] * [mm] \delta_{z}(\nu_{2})
[/mm]
Stimmt das so?
mfg
Thomas
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Hallo!
Was genau rechnest Du da nach? Die Linearitaet? Was soll das * zwischen zei Morphismen von $Z$ nach $V$?
Also, um zu zeigen, dass alles schoen linear ist, rechnet man es schlicht nach: wenn [mm] $\nu_1, nu_2 \in Hom_k [/mm] (Z,V)$, dann gilt:
[mm] $\delta_Z(\nu_1 [/mm] + [mm] \nu_2) [/mm] = [mm] \gamma \circ (\nu_1 [/mm] + [mm] \nu_2) [/mm] = [mm] \gamma \circ \nu_1 [/mm] + [mm] \gamma \circ \nu_2 [/mm] = [mm] \delta_Z(\nu_1) [/mm] + [mm] \delta_Z(\nu_2)$
[/mm]
Das folgt aus der Linearitaet von [mm] $\gamma$. [/mm] Fuer Skalare verfaehrt man ebenso. Bleibt die Surjektivitaet zu zeigen, das heisst zu jedem [mm] $\pi \in Hom_k(Z,W)$ [/mm] wird ein [mm] $\nu \in \Hom_k(Z,V)$ [/mm] gesucht mit [mm] $\delta_Z(\nu) [/mm] = [mm] \pi$.
[/mm]
Dass so ein [mm] $\nu$ [/mm] mengentheoretisch existiert ist trivial, ein gegebenes $z [mm] \in [/mm] Z$ muss nur auf ein Element in [mm] $\gamma^{-1}(\pi(z))$ [/mm] geschickt werden - zu zeigen ist nun, dass man dieses [mm] $\nu$ [/mm] linear waehlen kann...
Viel Erfolg!
Lars
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