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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Do 13.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Abbildung von [mm] (\IR, [/mm] +) in [mm] (\IR>0, [/mm] x) mit x [mm] \to e^{x} [/mm] ein Homomorphismus ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, damit es ein Homomorphismus ist, müssen verschiedene Sachen gelten.
#1
[mm] (\IR, [/mm] +) und [mm] (\IR>0, [/mm] x) müssen jeweils eine Gruppe sein.
#2
Es ist genau dann ein Homomorphismus [mm] \gdw \alpha [/mm] (x [mm] \circ [/mm] y) = [mm] \alpha [/mm] (x) x [mm] \alpha [/mm] (y) [mm] \gdw \alpha [/mm] (x+y) = [mm] \alpha [/mm] (x) x [mm] \alpha [/mm] (y)
Der Beweis lautet dann:
[mm] \alpha [/mm] (x+y) = [mm] e^{x+y}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] (x) x [mm] \alpha [/mm] (y) = [mm] e^{x} [/mm] x [mm] e^{y} [/mm] = [mm] e^{x+y}
[/mm]
Mein Problem liegt bei #1. Ich weiß, dass eine Gruppe die Eigenschaften der Assoziativität, des inversen Elements und des neutralen Elements besitzen muss. Wie man das jedoch auf das dieses Beispiel beweist bzw. zeigt, weiß ich nicht. Dort wäre es nett, wenn ihr mir helfen würdet. #2 denke ich, ist richtig.
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Hallo Dash und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie, dass die Abbildung von [mm] $(\IR,+)\to(\IR^{>0},\cdot{})$ [/mm] mit [mm] $x\mapsto e^{x}$ [/mm] ein Homomorphismus ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo, damit es ein Homomorphismus ist, müssen verschiedene
> Sachen gelten.
>
> #1
>
> [mm] $(\IR,+)$ [/mm] und [mm] $(\IR^{>0},\cdot{})$ [/mm] müssen jeweils eine Gruppe sein.
>
> #2
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> Es ist genau dann ein Homomorphismus [mm] $\gdw \alpha(x+y)=\alpha(x)\cdot{}\alpha(y)$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der Beweis lautet dann:
>
> [mm] $\alpha(x+y)=e^{x+y}$
[/mm]
> [mm] $\alpha(x)\cdot{}\alpha(y)=e^{x}\cdot{}e^{y}=e^{x+y}$ [/mm]
ganz genau!
>
>
> Mein Problem liegt bei #1. Ich weiß, dass eine Gruppe die
> Eigenschaften der Assoziativität, des inversen Elements und
> des neutralen Elements besitzen muss. Wie man das jedoch
> auf das dieses Beispiel beweist bzw. zeigt, weiß ich nicht.
> Dort wäre es nett, wenn ihr mir helfen würdet. #2 denke
> ich, ist richtig.
Naja, [mm] $(\IR,+)$ [/mm] und [mm] $(\IR\setminus\{0\},\cdot{})$ [/mm] sind ja bekanntermaßen Gruppen, da brauchst du ja nur die Untergruppenkriterien für [mm] $(\IR^{>0},\cdot{})$ [/mm] zu zeigen, wenn überhaupt 
Ich würde aber meinen, dass dein Beweis von (2) völlig ausreicht
LG
schachuzipus
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