Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 30.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) Homomorphismus
Was genau ist ein Homomorphismus?
Def:
Es seien [mm] (A(f_{i})) [/mm] und [mm] (B(f_{i})) [/mm] zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ und [mm] \sigma_{i} [/mm] bezeichne für jedes i die Stelligkeit der Verknüpfungen [mm] f_{i} [/mm] und [mm] g_{i} [/mm] . Eine Abbildung [mm] \Phi: [/mm] A [mm] \to [/mm] B ist dann ein Homomorphismus bezüglich der Struktur von [mm] (A(f_{i})) [/mm] und [mm] (B(f_{i})), [/mm] wenn für jedes i und für alle [mm] a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{\sigma_{i}} \in [/mm] A gilt:
[mm] \Phi(f_{i}(a_{1},...,a_{\sigma_{i}}) [/mm] = [mm] g_{i}((\Phi(a_{1}),...,\Phi(a_{\sigma_{i}}))
[/mm]
1. Was versteht man unter algebraischen Strukturen vom Gleichen Typ?
2. Was ist die Stelligkeit der Verknüpfung?
3. Ich verstehe es so, dass ein Homomorphismus eine Art allgemeinere Bedingung wie z.B. die Linearität einer Abbildung ist. Ein Homomorphismus sagt dass die Abbildung das ganze quasi erhält. So stell ich mir das vor. Ist das richtig?
Bitte für normale Menschen erklären ich denk mich erst gerade in das Thema ein.
Danke&Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 30.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
Vielleicht helfen dir Beispiele weiter.
Eine algebraische Struktur ist eine Menge mit Abbildungen (Verknuepfungen), die gewisse Bedingungen (Axiome) erfuellen.
Ein Beispiel: eine Gruppe ist eine algebraische Struktur $G$ mit einer zweistelligen Verknuepfung $m : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$ (Multiplikation), einer einstelligen Verknuepfung $i : G [mm] \to [/mm] G$ (Inversenbildung) und einer nullstelligen Verknuepfung $e : [mm] \{ p \} \to [/mm] G$ (das Bild ist das neutrale Element), die folgende Axiome erfuellt:
a) [mm] $\forall [/mm] x, y, z [mm] \in [/mm] G : m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z))$ (Assoziativitaet);
b) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G : m(x, e(p)) = x = m(e(p), x)$ (neutrales Element);
c) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G : m(x, i(x)) = e(p) = m(i(x), x)$ (inverses Element).
Ein weiteres Beispiel: ein Ring mit Eins ist eine algebraische Struktur $R$ mit zwei zweistelligen Verknuepfungen (Addition und Multiplikation), einer einstelligen Verknuepfung (additiv Inverse) und zwei nullstelligen Verknuepfungen (neutrale Elemente bzgl. Addition und Multiplikation), mit halt den passenden Axiomen.
Koerper kann man uebrigens nicht so einfach nach diesem Schema definieren, da man fuer die Axiome staerkere Aussagen braucht.
> Homomorphismus
>
> Was genau ist ein Homomorphismus?
> Def:
> Es seien [mm](A(f_{i}))[/mm] und [mm](B(f_{i}))[/mm] zwei algebraische
> Strukturen vom gleichen Typ
Gleicher Typ heisst: sie haben die gleichen Arten von Verknuepfungen (also gleiche Anzahl und Stelligkeit) und Axiome.
> und [mm]\sigma_{i}[/mm] bezeichne für
> jedes i die Stelligkeit der Verknüpfungen [mm]f_{i}[/mm] und [mm]g_{i}[/mm]
> . Eine Abbildung [mm]\Phi:[/mm] A [mm]\to[/mm] B ist dann ein Homomorphismus
> bezüglich der Struktur von [mm](A(f_{i}))[/mm] und [mm](B(f_{i})),[/mm] wenn
> für jedes i und für alle [mm]a_{1},[/mm] ... , [mm]a_{\sigma_{i}} \in[/mm]
> A gilt:
>
> [mm]\Phi(f_{i}(a_{1},...,a_{\sigma_{i}})[/mm] =
> [mm]g_{i}((\Phi(a_{1}),...,\Phi(a_{\sigma_{i}}))[/mm]
>
> 1. Was versteht man unter algebraischen Strukturen vom
> Gleichen Typ?
s.o.
Du kannst ja keinen Homomorphismus von einem Ring in eine Gruppe angeben, das macht ja erstmal keinen Sinn -- der Ring hat ja zwei zweistellige Verknuepfungen, die Gruppe nur eine.
(Du kannst natuerlich vom Ring die additive Gruppe nehmen -- aber damit aenderst du den algebraischen Typ, und nachdem du ihn geaendert hast, geht es wieder, da beide nur genau eine zweistellige Verknuepfung haben.)
> 2. Was ist die Stelligkeit der Verknüpfung?
Eine Verknuepfung ist eine Abbildung [mm] $M^k \to [/mm] M$, wobei $M$ die unterliegende Menge ist. Das $k$ ist die Stelligkeit.
Fuer $k = 2$ hast du $M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M$, also eine ganz normale Verknuepfung wie etwa Multiplikation oder Addition.
Fuer $k = 1$ hast du $M [mm] \to [/mm] M$, etwa Inversenbildung.
Fuer $k = 0$ hast du [mm] $\{ p \} \to [/mm] M$, das gibt einfach eine Konstante aus $M$ an.
> 3. Ich verstehe es so, dass ein Homomorphismus eine Art
> allgemeinere Bedingung wie z.B. die Linearität einer
> Abbildung ist. Ein Homomorphismus sagt dass die Abbildung
> das ganze quasi erhält. So stell ich mir das vor. Ist das
> richtig?
Ja, ein Homomorphismus ist eine "strukturerhaltende Abbildung": sie ist mit allen Verknuepfungen vertraeglich.
(Welche Verknuepfung welcher anderen entspricht wird durch die "algebraische Struktur" festgelegt, deswegen muessen beide die gleiche alg. Struktur haben.)
Ich hoffe das hilft ein wenig...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 So 30.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Felix,
Danke sehr für die Antwort mit richtigem Mix aus Sachlichkeit und(!) Verständlichkeit. Da ich mich auch momentan mit Gruppentheorie angefangen habe zu beschäftigen ergibt sich mir langsam ein Bild. Die Frage ist für mich in dem Sinne vollständig beantwortet.
Was ich nochmals doch nachfragen wollte damit ich das ganze theoretisch richtig verstanden habe:
Ist die Beziehung zwischen Strukturen ein Homomorphismus, so kann man quasi die gleichen mathematischen Probleme darin lösen, sie sind quasi äquivalent zueinander einfach in einer Art anderem Raum? Es (die Strukturen) sind einfach im übertragenen Sinne andere Zahlensysteme da sie grundsätzlich auf den gleichen Axiomen basieren.
So stell ich es mir jetzt vor.
Gruss&Dank Qsxqsx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:56 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Felix,
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> Danke sehr für die Antwort mit richtigem Mix aus
> Sachlichkeit und(!) Verständlichkeit. Da ich mich auch
> momentan mit Gruppentheorie angefangen habe zu
> beschäftigen ergibt sich mir langsam ein Bild. Die Frage
> ist für mich in dem Sinne vollständig beantwortet.
>
> Was ich nochmals doch nachfragen wollte damit ich das ganze
> theoretisch richtig verstanden habe:
> Ist die Beziehung zwischen Strukturen ein Homomorphismus,
> so kann man quasi die gleichen mathematischen Probleme
> darin lösen, sie sind quasi äquivalent zueinander einfach
> in einer Art anderem Raum? Es (die Strukturen) sind einfach
> im übertragenen Sinne andere Zahlensysteme da sie
> grundsätzlich auf den gleichen Axiomen basieren.
> So stell ich es mir jetzt vor.
Hallo Stan,
ich denke , Du stellst Dir das richtig vor. Nimm mal an, Du hast 2 Gruppen (G, [mm] \circ) [/mm] und (H,*) und einen bijektiven Gruppenhomomorphismus f:g [mm] \to [/mm] H. Dann gilt also
f(a [mm] \circ [/mm] b)= f(a)*f(b) für alle a,b [mm] \in [/mm] G.
Zu dieser Situation sagte mein verehrter Lehrer H. Heuser:
" die Gruppen G und H unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente"
In G heißen diese a,b ,.... und in H heißen sie f(a), f(b), ...
Gruß FRED (Chuck ....)
>
> Gruss&Dank Qsxqsx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Mo 31.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke für die Antwort.
Aber was bedeutet "Stan" bzw. "Chuck ...."? Was sind das für Fabelwesen?! Lebst du in einer Comic-Welt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
>
> Aber was bedeutet "Stan" bzw. "Chuck ...."? Was sind das
> für Fabelwesen?! Lebst du in einer Comic-Welt?
Hast Du Alzheimer ?
Du bist Stan Laurel und ich bin Chuck Norris.
Zur Erinnerung: https://matheraum.de/read?t=705847
FRED
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