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Hallo liebe Community,
im Rahmen meiner Klausurvorbereitung habe ich mal wieder eine Frage an euch. Kann mir jemand zeigen, wie ich folgendes rechne:
F: V --> W
[mm] \lambda v_{1}+..+\lambda_{n}v_{n} [/mm] --> [mm] \lambda w_{1}+..+\lambda_{n}w_{n}
[/mm]
z.z. [mm] F\in Hom_{k}(V,W)
[/mm]
Der genaue Satz lautet: V,W K-VR, [mm] (v_{1},..., v_{n}) [/mm] Basis von V und [mm] (w_{1},..., w_{n}) [/mm] Familie in W. Dann ex. genau ein [mm] F\in Hom_{k}(V,W) [/mm] mit [mm] F(v_{1})=w_{1},..., F(v_{n})=w_{n}. [/mm]
Dies ist ja ein Existenz-und Eindeutigkeitsbeweis. Letzteres ist Klar und habe ich schon bewiesen nur bei der Existenz habe ich noch Schwierigkeiten.
Vielen Dank für euere Hilfe!
DerPinguinagent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Do 14.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Sei v [mm] \in [/mm] V. Da $ [mm] (v_{1},..., v_{n}) [/mm] $ eine Basis von V ist, gibt es eindeutig bestimmte [mm] \lambda_1,..., \lambda_n \in [/mm] K mit
$v= [mm] \lambda_1 v_{1}+..+\lambda_{n}v_{n}. [/mm] $
Definiere
$ F(v):= [mm] \lambda_1 w_{1}+..+\lambda_{n}w_{n}$
[/mm]
Zeige, dass F das Gewünschte leistet.
FRED
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