Hospital anwenden? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Di 22.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Ich soll den Grenzwert ,falls vorhanden ausrechnen
[mm] n^3*2^{-n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{2^n} [/mm] ist ja [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
Wäre es sinnvoll dann die Regel von Hospital anzuwenden oder gibt es einfachere Wege ( wenn möglich vermeiden ;) )
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Moin racy,
> Ich soll den Grenzwert ,falls vorhanden ausrechnen
>
> [mm]n^3*2^{-n}[/mm]
Da das wohl eine Folge sein soll ...
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{2^n}[/mm] ist ja [mm]"\bruch{\infty}{\infty}"[/mm]
>
>
> Wäre es sinnvoll dann die Regel von Hospital anzuwenden
... ist das so sicherlich nicht gedacht, aber möglich, wenn man eine Funktion [mm] f:\IR\to\IR, x\mapsto\frac{x^3}{2^x} [/mm] betrachtet und davon den Grenzwert x gegen [mm] \infty.
[/mm]
> oder gibt es einfachere Wege ( wenn möglich vermeiden ;) )
Zeige etwa per Induktion [mm] \frac{n^3}{2^n}\leq\frac{25}{n} [/mm] für [mm] n\geq1, [/mm] das ist aber (relativ) umständlich. Das sieht man schon an der Wahl der 25, da [mm] n^3 [/mm] eine ganze Weile größer als [mm] 2^n [/mm] ist.
Durch diese Abschätzung nach oben durch eine Nullfolge ist der Grenzwert nach dem Einschließungslemma Null.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 22.03.2011 | | Autor: | racy90 |
mhmm...
Also soll ich eher das mit Induktion zeigen als Hospital?
Kannst du mir das in etwa zeigen wie ich das anstellen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Di 22.03.2011 | | Autor: | h500 |
Induktion ist moeglich, aber ich denke, das Folgende ist einfacher:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^3}{2n^3}=\frac{1}{2}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^3 [/mm] $
Wie in deinem letzten Beispiel wollen wir den Ausdruck durch $1$ (echt) majorisieren.
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1\;\Leftrightarrow\; n>\frac{1}{2^{1/3}-1} [/mm] $
Die kleinste natuerliche Zahl, die das erfuellt, ist $4$. Mithin haben wir [mm] $a_4>a_5>a_6>\cdots$ [/mm] die Monotonie der Folge ab diesem Wert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Di 22.03.2011 | | Autor: | racy90 |
okay danke :)
jetzt hab ich es verstanden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
alternativ kann man auch den binomischen Satz benutzen:
Wegen diesem gilt
[mm] $$2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] 1^k*1^{n-k}=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose [/mm] 0}+{n [mm] \choose [/mm] 1}+{n [mm] \choose [/mm] 2}+{n [mm] \choose [/mm] 3}+{n [mm] \choose [/mm] 4} [mm] \ge [/mm] {n [mm] \choose 4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \ge \frac{(n-3)^4}{24}$$
[/mm]
für alle natürlichen $n > [mm] 3\,$ [/mm] und damit folgt für diese [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $$n^3/2^n \le n^3*\frac{24}{(n-3)^4} \to 0\;\;\;(n \to \infty)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Falls Dir der letzte Grenzwert nicht ganz klar ist, so kannst Du dort etwa [mm] $n\,$ [/mm] durch $n+3$ ersetzen (beachte $n [mm] \to \infty \gdw [/mm] (n+3) [mm] \to \infty$) [/mm] und erkennst damit
[mm] $$\frac{(n+3)^3}{n^4}=\frac{n^3+9n^2+27n+27}{n^4}=\frac{1}{n}+\frac{9}{n^2}+\frac{27}{n^3}+\frac{27}{n^4} \to 0+0+0+0=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:20 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich soll den Grenzwert ,falls vorhanden ausrechnen
>
> [mm]n^3*2^{-n}[/mm]
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{2^n}[/mm] ist ja
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
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> Wäre es sinnvoll dann die Regel von Hospital anzuwenden
> oder gibt es einfachere Wege ( wenn möglich vermeiden ;)
> )
Noch eine Möglichkeit: mit dem Wurzelkriterium sieht man rasch, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n} [/mm] konvergiert, somit ist [mm] (\bruch{n^3}{2^n}) [/mm] eine Nullfolge.
FRED
P.S.: wenn Du mit l'Hospital den GW [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^3}{2^x} [/mm] bestimmen willst, mußt Du die Regel von l'Hospital dreimal (!) anwenden.
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