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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Do 26.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] (\IR^n,<,>) [/mm] und einen Vektor w [mm] \in \IR^n [/mm] der Länge ||w||=1. Ferner führen wir die Householder-Matrix
[mm] H_w=E_n-2ww^T [/mm]
und den zugehörigen Endomorphismus
[mm] \phi_w:\IR^n\to\IR^n, v\to H_w*v [/mm]
ein.
(a) Zeige, dass [mm] H_w [/mm] orthogonal ist.
(b) Zeige, dass Unterräume [mm] V_1,V_2\subseteq\IR^n [/mm] mit folgenden Eigenschaften existieren:
i) [mm] \IR^n [/mm] = [mm] V_1 \oplus V_2
[/mm]
ii) [mm] V_2 [/mm] = [mm] V_1^\perp
[/mm]
iii) [mm] \phi_w|_{V_1}=id_{V_1} \wedge \phi_w|_{V_2}=-id_{V_2} [/mm] |
Hallo! Wäre nett wenn jemand drüber gucken und was dazu sagen könnte. Hatte vorallem bei Teil (b) ein paar Probleme. Vielen Dank schonmal!! :)
(a) Matrix [mm] H_w [/mm] orthogonal [mm] \Rightarrow H_w*H_w^T=H_w^T*H_w=E_n
[/mm]
Es gilt: [mm] H_w^T=E_n-2*(w*w^T)^T=E_n-2*w*w^T=H_w
[/mm]
[mm] \Rightarrow H*H^T=H^T*H=(E_n-2*w*w^T)*(E_n-2*w*w^T)=E_n-4w*w^t+4*w*w^T*w*w^T=E_n [/mm] q.e.d
(b) Hier habe ich eine Eigenschaft als wahr vorrausgesetzt und damit versucht die anderen zu zeigen.
Sei (ii) [mm] V_2=V_1^T. [/mm] Dann gilt [mm] V_2=\{x\in\IR^n | =0, \forall v \in V_1\} [/mm] enthält also alle Vektoren, die zu denen Vektoren v aus [mm] V_1 [/mm] orthogonal sind. Damit spannen [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] den [mm] \IR^n [/mm] auf. Es gilt [mm] \IR^n=V_1\oplus V_2. [/mm]
Also klar ist mir das, kann man es nur noch schöner/besser formulieren?
Mein Problem ist jetzt die Aussage (iii). Komme nicht mit dem "teilt" Zeichen klar. Ist das hier auch gemeint? Bei z.B. reellen Zahlen ist das ja kein Problem, nur mit einer Funktion und einem Unterraum stehe ich gerade gewaltig auf dem Schlauch. Kann man [mm] \phi_w|_V_{1} [/mm] irgendwie anders ausdrücken? Wie z.B. a|b mit [mm] \exists n\in\IN:a*n=b [/mm] oder so?
Lieben Gruß & Vielen Dank!!
chesn
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> Mein Problem ist jetzt die Aussage (iii). Komme nicht mit
> dem "teilt" Zeichen klar. Ist das hier auch gemeint? Bei
> z.B. reellen Zahlen ist das ja kein Problem, nur mit einer
> Funktion und einem Unterraum stehe ich gerade gewaltig auf
> dem Schlauch. Kann man [mm]\phi_w|_V_{1}[/mm] irgendwie anders
> ausdrücken?
Hallo,
[mm] $\phi_w|_{V_{1}}$ [/mm] bedeutet: die Einscchränkung von [mm] \phi [/mm] auf den Unterraum [mm] V_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm](\IR^n,<,>)[/mm] und
> einen Vektor w [mm]\in \IR^n[/mm] der Länge ||w||=1. Ferner führen
> wir die Householder-Matrix
>
> [mm]H_w=E_n-2ww^T[/mm]
>
> und den zugehörigen Endomorphismus
>
> [mm]\phi_w:\IR^n\to\IR^n, v\to H_w*v[/mm]
>
> ein.
>
> (a) Zeige, dass [mm]H_w[/mm] orthogonal ist.
> (b) Zeige, dass Unterräume [mm]V_1,V_2\subseteq\IR^n[/mm] mit
> folgenden Eigenschaften existieren:
>
> i) [mm]\IR^n[/mm] = [mm]V_1 \oplus V_2[/mm]
> ii) [mm]V_2[/mm] = [mm]V_1^\perp[/mm]
> iii) [mm]\phi_w|_{V_1}=id_{V_1} \wedge \phi_w|_{V_2}=-id_{V_2}[/mm]
>
> Hallo! Wäre nett wenn jemand drüber gucken und was dazu
> sagen könnte. Hatte vorallem bei Teil (b) ein paar
> Probleme. Vielen Dank schonmal!! :)
>
> (a) Matrix [mm]H_w[/mm] orthogonal [mm]\Rightarrow H_w*H_w^T=H_w^T*H_w=E_n[/mm]
>
> Es gilt: [mm]H_w^T=E_n-2*(w*w^T)^T=E_n-2*w*w^T=H_w[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow H*H^T=H^T*H=(E_n-2*w*w^T)*(E_n-2*w*w^T)=E_n-4w*w^t+4*w*w^T*w*w^T=E_n[/mm]
> q.e.d
Hallo,
das sieht richtig aus.
>
> (b) Hier habe ich eine Eigenschaft als wahr vorrausgesetzt
> und damit versucht die anderen zu zeigen.
>
> Sei (ii)
[mm] V_1 [/mm] ein Unterraum von V und
> [mm] V_2=V_1^T. [/mm]
> Dann gilt [mm]V_2=\{x\in\IR^n | =0, \forall v \in V_1\}[/mm]
> enthält also alle Vektoren, die zu denen Vektoren v aus
> [mm]V_1[/mm] orthogonal sind. Damit spannen [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm] den [mm]\IR^n[/mm]
> auf. Es gilt [mm]\IR^n=V_1\oplus V_2.[/mm]
> Also klar ist mir das, kann man es nur noch schöner/besser
> formulieren?
Das überzeugt mich nicht.
Ich sehe hier nur Behauptungen.
Was machst Du, wenn ich nicht glaube, daß [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] den [mm] \IR^n [/mm] aufspannen?
Und daß dir Schnitt nur aus der Null besteht, ist sicher auch vorzurechnen.
>
> Mein Problem ist jetzt die Aussage (iii). Komme nicht mit
> dem "teilt" Zeichen klar.
Siehe meine Mitteilung.
Es ist in Aufgabe b) verlangt, [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] konkret anzugeben.
Es ist sicher lohnend, mal darüber nachzudenken, was die Householdermatrix tut, welche Art von Abbildung [mm] \phi_w [/mm] also beschreibt.
Gruß v. Angela
> Ist das hier auch gemeint? Bei
> z.B. reellen Zahlen ist das ja kein Problem, nur mit einer
> Funktion und einem Unterraum stehe ich gerade gewaltig auf
> dem Schlauch. Kann man [mm]\phi_w|_V_{1}[/mm] irgendwie anders
> ausdrücken? Wie z.B. a|b mit [mm]\exists n\in\IN:a*n=b[/mm] oder
> so?
>
> Lieben Gruß & Vielen Dank!!
> chesn
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 26.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo Angela! Erstmal vielen Dank für deine Hinweise.
Kann ich auch einfach ein Beispiel wählen für das ich es zeigen kann?
Wenn ich z.B. [mm] V_1=\{0\} [/mm] wähle und [mm] V_2=\{ x\in\IR^n | =0 \forall v\in V_1\} [/mm] liegen alle orthogonalen Vektoren in [mm] V_2 [/mm] und da das n linear unabhängige sind, spannen sie den [mm] \IR^n [/mm] auf?! Dass hier der Schnitt aus 0 besteht ist klar wegen [mm] V_1=\{0\}.
[/mm]
Andererseits hatte ich auch die Idee [mm] V_1=\{ v\in\IR^n | =0 \forall x\in V_2\} [/mm] und [mm] V_2=\{ x\in\IR^n | =0 \forall v\in V_1\} [/mm] (nur irgendwie habe ich dabei ein komisches Gefühl). Argumentation wie oben und Schnittmenge: Für [mm] a\in(V_1\cap V_2) [/mm] würde dann ja gelten: <a,a>=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0.
Mit meiner ersten Idee könnte ich dann (iii) angehen:
[mm] \phi_w(V_1)=E_n*V_1-2*w*w^T*V_1=0=V_1
[/mm]
[mm] \phi_w(V_2)=E_n*V_2-2*w*w^T*V_2=(\*)=V_2-2*V_2=-V_2
[/mm]
Wobei mir für (*) allerdings kein Argument einfällt, warum [mm] w*w^T*V_2=V_2 [/mm] gelten kann. Aber so oder ähnlich muss es wohl aussehen, oder?!
Da die Householdermatrix eine Spiegelung bewirkt, fällt mir so für [mm] V_1 [/mm] auch nur die 0 ein, die (wo auch immer) gespiegelt wieder identisch ist.
Hoffe ich habe nicht zu viel Unsinn verzapft! ;) Vielen Dank & liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 26.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Andererseits hatte ich auch die Idee $ [mm] V_1=\{ v\in\IR^n | =0 \forall x\in V_2\} [/mm] $ und $ [mm] V_2=\{ x\in\IR^n | =0 \forall v\in V_1\} [/mm] $
[mm] $V_1$ [/mm] ist die Menge aller Vektoren die auf [mm] $V_2$ [/mm] senkrecht stehen, wobei [mm] $V_2$ [/mm] die Menge aller Vektoren ist, die auf [mm] $V_1$ [/mm] senkrecht stehen, wobei [mm] $V_1$ [/mm] die Menge aller Vektoren ist, die auf [mm] $V_2$ [/mm] senkrecht stehen, wobei [mm] $V_2$ [/mm] die Menge.... =)
> Wobei mir für (*) allerdings kein Argument einfällt, warum $ [mm] w\cdot{}w^T\cdot{}V_2=V_2 [/mm] $ gelten kann.
gilt auch nicht.
> Aber so oder ähnlich muss es wohl aussehen, oder?!
Was ist denn [mm] $\{v\in\IR^n\ |\ H_wv=-v\}$? [/mm] Was ist denn [mm] $H_w$? [/mm] Eine Spiegelung. Also ist die Menge was genau?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Fr 27.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo! Vielen Dank für deine Antwort! Ohne den tollen Tipp wär ich da wohl nicht mehr drauf gekommen. :)
[mm] \{v\in\IR^n|H_w*v=-v\} [/mm] ist dann die Menge aller Vektoren die orthogonal zur Spiegelebene sind. Dazu gehört dann auch mein w, das ja nach Definition bereits senkrecht auf der Spiegelebene steht. Ist nun [mm] V_2=\{v\in\IR^n|H_w*v=-v\} [/mm] und [mm] V_1=\{u\in\IR^n|=0 \forall v\in V_2\} [/mm] gilt:
[mm] \phi_w(v)=H_w*v=-v [/mm] , für [mm] v\in V_2
[/mm]
[mm] \phi_w(u)=H_w*u=u-2**u [/mm] (*)
Da w in [mm] V_2 [/mm] liegt und u folglich orthogonal zu w ist, gilt <w,u>=0.
(*)$=u-2*0*u=u$ für [mm] u\in V_1
[/mm]
Damit ist (iii) erfüllt.
(ii) ist damit auch trivial und für (i) würde ich dann die Argumentation nutzen, dass [mm] V_1 [/mm] alle Vektoren enthält, die orthogonal zu den Vektoren aus [mm] V_2 [/mm] stehen. Insbesondere liegen also n linear unabhängige Vektoren in [mm] V_1\oplus V_2. [/mm] Im Schnitt muss jetzt nur noch die Null liegen:
Sei [mm] a\in(V_1\cap \V_2) \gdw [/mm] <a,a>=0 [mm] \forall a\in (V_1\cap \V_2) \Rightarrow [/mm] a=0.
Kann ich doch so machen, oder? Hoffe jetzt passt alles.
Vielen Dank für die Geduld & liebe Grüße! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
w ist nicht nur einer der Vektoren in [mm] $V_2$
[/mm]
> $ [mm] \phi_w(u)=H_w\cdot{}u=u-2\cdot{}\cdot{}u [/mm] $ (*)
> Da w in $ [mm] V_2 [/mm] $ liegt und u folglich orthogonal zu w ist, gilt <w,u>=0.
> (*)=u-2*0*u=u für $ [mm] u\in V_1 [/mm] $
Wenn Du diese Rechnung auch für [mm] $V_2$ [/mm] durchführst
[mm] $H_w*v=v-2ww^tv=-v$
[/mm]
[mm] $\cdots$
[/mm]
bzw. Dir überlegst welche Dimension [mm] $V_2$ [/mm] haben muß, dann kriegst Du noch eine präzisere Charakterisierung von [mm] $V_2$.
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Fr 27.05.2011 | | Autor: | chesn |
ahh jetzt macht es klick.. es gibt ja nur den einen vektor w, der senkrecht auf der ebene steht. ;)
Vielen Dank nochmal!!
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