Householder-Transf./Reflexion < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 14.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo alle zusamen,
ich habe mal wieder eine Frage:
Zu einem Vektor [mm]v\in\IR^{n}, v\not= 0[/mm] ist die Householder-Transformation [mm]Q_v[/mm] gegeben durch [mm]Q_v = I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v}[/mm].
a) Zeige, daß [mm]Q_v*y = y \gdw v \mbox {senkrecht auf} y[/mm].
b) Zeige, daß [mm]Q_v*v = -v[/mm].
c) Seien [mm]x, y \in\IR^{n}\setminus {0}[/mm]. Finde eine Householder-Transformation, so daß [mm]Q_v*x [/mm] ein Vielfaches von [mm]y[/mm] ist.
Zu a) [mm]Q_vy = y \Rightarrow v \mbox {senkrecht auf} y[/mm]
Reicht da folgendes aus?
[mm]Q_vy = y \Rightarrow (I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v})y =y \Rightarrow y - 2\bruch{}{}v =y \Rightarrow - 2\bruch{}{}v =0 \Rightarrow [/mm] da [mm]v\not= 0[/mm], dass [mm] = 0[/mm]sein muss. Das ist aber nur der Fall, wenn v senkrecht auf y.
Und [mm] v \quad\mbox {senkrecht auf} \quad y\Rightarrow Q_vy = y [/mm]
[mm]v \quad \mbox {senkrecht auf}\quad y \Rightarrow = 0 \Rightarrow y - 2\bruch{}{}v =y \Rightarrow (I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v})y =y \Rightarrow Q_vy = y[/mm]
Zu b) Reicht da das aus?
[mm]Q_vv = (I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v})v = v - 2\bruch{}{}v = v - 2v = -v[/mm]
Zu c) Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen? Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll?
Danke Jörg
|
|
| |
|
HalloJörg!
> Zu einem Vektor [mm]v\in\IR^{n}, v\not= 0[/mm] ist die
> Householder-Transformation [mm]Q_v[/mm] gegeben durch [mm]Q_v = I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v}[/mm].
>
>
> a) Zeige, daß [mm]Q_v*y = y \gdw v \mbox {senkrecht auf} y[/mm].
>
>
> b) Zeige, daß [mm]Q_v*v = -v[/mm].
>
> c) Seien [mm]x, y \in\IR^{n}\setminus {0}[/mm]. Finde eine
> Householder-Transformation, so daß [mm]Q_v*x[/mm] ein Vielfaches von
> [mm]y[/mm] ist.
>
> Zu a) [mm]Q_vy = y \Rightarrow v \mbox {senkrecht auf} y[/mm]
>
> Reicht da folgendes aus?
> [mm]Q_vy = y \Rightarrow (I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v})y =y \Rightarrow y - 2\bruch{}{}v =y \Rightarrow - 2\bruch{}{}v =0 \Rightarrow[/mm]
> da [mm]v\not= 0[/mm], dass [mm] = 0[/mm]sein muss. Das ist aber nur der
> Fall, wenn v senkrecht auf y.
>
> Und [mm]v \quad\mbox {senkrecht auf} \quad y\Rightarrow Q_vy = y[/mm]
>
>
> [mm]v \quad \mbox {senkrecht auf}\quad y \Rightarrow = 0 \Rightarrow y - 2\bruch{}{}v =y \Rightarrow (I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v})y =y \Rightarrow Q_vy = y[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu b) Reicht da das aus?
> [mm]Q_vv = (I - 2*\bruch{v*v^{T}}{v^{T}*v})v = v - 2\bruch{}{}v = v - 2v = -v[/mm]
>
> Zu c) Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen? Ich
> weiß nicht, wie ich anfangen soll?
>
Leider noch keine Idee!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Di 14.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hy Wurzelpi,
also, sonst antwortet Dir immer die liebe Rebekka, mit der ich zusammenarbeite, aber die ist im Moment auch völlig überlastet. Zu Aufgabe 29, das ist viel Rechenaufwand und ich bin hier mit dem System nicht vertraut, daher schreibe ich dir nur wie es funktioniert damit du auch was zu rechnen hast!
1. Bestimme die Matrix A mit dem exponentiellen Ansatz, dann stehen in
der ersten Spalte von A nur 1-er und in der zweiten Spalte [mm] e^{0.6}, [/mm]
[mm] e^{1.8} [/mm] usw.
2. [mm] u_{1} [/mm] = [mm] a_{1}+sign(a_{11})*||a_{1}||_{2}*e_{1}
[/mm]
3. Setze hier die Werte ein und du erhälst [mm] u_{1}
[/mm]
4. Bilde das Produkt [mm] u_{1}*u_{1}^{T} [/mm] und
das Produkt [mm] u_{1}^{T}*u_{1}
[/mm]
5. Bilde [mm][mm] 2*\bruch{u_{1}*u_{1}^{T}}{u_{1}^{T}*u_{1}}[/mm] [mm]
6. Berechnung der ersten Householder-Matrix
[mm] P_{1} [/mm] = I - [mm][mm] 2*\bruch{u_{1}*u_{1}^{T}}{u_{1}^{T}*u_{1}}[/mm] [mm]
7. Multiplikation der Ausgangsmatrix A mit der ersten Householder-Matrix
[mm] P_{1}A=A' [/mm] Du erhälst eine Matrix in der in der [mm] a_{21}, a_{31}, a_{41}
[/mm]
alle 0 sind und die [mm] a_{22}, a_{32}, a_{42} [/mm] bilden deine Restmatrix
8. Mit dieser Restmatrix wird jetzt weitergerechnet, und du fängst bei
Punkt 2, wie oben beschrieben, wieder an, und führst das Schema so
fort!!! Wundere dich nicht über krumme Zahlen, das liegt am
exponentiellen Ansatz! Nach der zweiten Transformation bist Du im
Grunde fertig, je nachdem wie du gerundet hast!!!
9. Am Ende solltest Du die matrix R erhalten mit [mm] R=P_{2}P_{1}A=P_{2}*A'
[/mm]
diese Matrix hat die Einträge:
[mm] \pmat{-2 & -20.7104 \\ 0 & -13.9889 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
10. Berechne dann [mm] y'=P_{1}*y [/mm] und y'' = [mm] P_{2}*y' [/mm] (P waren die
Householder-Matrizen)
11. Löse dann R*x=y'' und du erhälst die Werte für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}
[/mm]
12. allgem. Lösung: y(t) [mm] \approx [/mm] 0.55 + [mm] 0.29e^{t}
[/mm]
Hoffe es hilft Dir, wäre schön wenn Du im Gegenzug noch 28a und 28b vorstellst, 28a haben wir zwar auch, aber man kann ja mal vergleichen!
So viel Spaß beim Rechen, VLG Joergi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Jörg!
Du musst dir nur mal überlegen, was so eine Householder-Transformation [mm] $Q_v$ [/mm] geometrisch eigentlich ist. Es ist nichts anderes als eine Spiegelung an der zu $v$ orthogonalen Spiegelebene [mm] $S_v$.
[/mm]
Wie muss man jetzt $v$ wählen, damit $x$ auf $y$ gespiegelt wird? Ich würde sagen, rein von der Anschauung, als
$v = [mm] \frac{1}{\Vert x \Vert} [/mm] x - [mm] \frac{1}{\Vert y \Vert} [/mm] y$,
also als Vektor, der die normierten $x$ und $y$ zu einer geschlossenen Linearkombination verbindet. Wenn ich mir jetzt die Spiegelebene senkrecht auf $v$ vorstelle, müsste sie eigentlich genau $x$ auf $y$ spiegeln.
Aber: Ohne Gewähr! Versuche es bitte mal rechnerisch nachzuweisen. 
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
