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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 13.03.2011 | | Autor: | numerus |
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
A [mm] =\pmat{ -8 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & -4 \\ 6 & 3 & 12}
[/mm]
und b [mm] =\pmat{ 35\\ -28 \\ 134}
[/mm]
a.) Zerlegen Sie die Matrix A mittels Householdertransformation in eine obere Dreiecksmatrix. Die orthogonalen Matritzen sind jeweils exakt anzugeben und alle Rechenschritte einzeln anzugeben.
b.) Geben Sie formelmäßig die Rechenschritte zur Lösung des Gleichungssystems mittels Householdertransformation an. |
Meine Frage bezieht sich nur auf b.).
Ich habe eine obere Dreiecksmatrix
R [mm] =\pmat{10 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & 5,6 \\ 0 & 0 & 12}
[/mm]
heraus. Jetzt frage ich mich nur, wie das in b.) gemeint ist.
Um das Gleichungssystem zu lösen bräuchte man noch das b.)
dass sich über Q1*Q2*b berechnen lässt und dann über rückwärtseinsetzen bekäme man x3, x2 und x1 heraus.
Aber wie soll man das denn formelmäßig erklären?
Oder einfach die allg. Formel des Householders hinschreiben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mo 14.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
>
> A [mm]=\pmat{ -8 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & -4 \\ 6 & 3 & 12}[/mm]
>
>
> und b [mm]=\pmat{ 35\\ -28 \\ 134}[/mm]
>
> a.) Zerlegen Sie die Matrix A mittels
> Householdertransformation in eine obere Dreiecksmatrix. Die
> orthogonalen Matritzen sind jeweils exakt anzugeben und
> alle Rechenschritte einzeln anzugeben.
>
> b.) Geben Sie formelmäßig die Rechenschritte zur Lösung
> des Gleichungssystems mittels Householdertransformation
> an.
> Meine Frage bezieht sich nur auf b.).
> Ich habe eine obere Dreiecksmatrix
> R [mm]=\pmat{10 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & 5,6 \\ 0 & 0 & 12}[/mm]
>
> heraus.
Hier hast Du dich verrechnet. Die obere Dreiecksmatrix R lautet [mm] R=\pmat{ -10 & -1 & -4 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & -12 }
[/mm]
> Jetzt frage ich mich nur, wie das in b.) gemeint
> ist.
> Um das Gleichungssystem zu lösen bräuchte man noch das
> b.)
> dass sich über Q1*Q2*b berechnen lässt und dann über
> rückwärtseinsetzen bekäme man x3, x2 und x1 heraus.
>
> Aber wie soll man das denn formelmäßig erklären?
> Oder einfach die allg. Formel des Householders
> hinschreiben?
Du hast ja jetzt eine Darstellung der Gleichung Ax=b in der Form [mm] Q\cdot{R}\cdot{x}=b [/mm] mit [mm] Q*Q^T=1
[/mm]
also gilt [mm] R*x=Q^T*b [/mm] und damit
[mm] x_3=\bruch{(Q^T*b)_3}{R_{3,3}} [/mm] usw.
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