Hüllfläche einer Kugel < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Fr 13.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich will das wirklich verstehen, aber am Doppelintegral happerts noch.
[mm] \oint \oint_{Kugel}\vec{D}\cdot d\vec{A}=D\cdot 4\pi\cdot r^2=Q[/mm].
Wieso ist das Doppelringintegral von dem Flächenvektor einer Kugel genau die Oberfläche einer Kugel? Kann mir das vielleicht jemand kurz und knapp erläutern? Oder ist das eine Formel, die man sich so merken muss?
Ich suche immer noch den Durchbruch...
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Fr 13.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Ich glaube ich habs gefunden. Darf ich das so sagen und mir die Frage damit beantworten:
Das Integral über die Größe aller Flächenelemente ergibt den Flächeninhalt A,
[mm]\oint dA=A[/mm] ???
Danke
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Hallo!
Der Gauß´sche Gesetz der Elektrostatik lautet wie folgt:
(1) [mm] \integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\rho{dV}}, [/mm] mit [mm] \rho=div\vec{D}.
[/mm]
Dieser Integralsatz stellt eine Verbindung zwischen einem Oberflächenintegral und einem Volumenintegral über ein Vektorfeld dar. In einem sphärischen Koordinatensystem ergibt sich dann beispielsweise mit
[mm] \vec{D}=D_{r}(r)\vec{e}_{r} [/mm] und [mm] d\vec{A}=r^{2}sin(\vartheta)d\vartheta{d\varphi}\vec{e}_{r} [/mm]
für die linke Seite aus Gleichung (1) das geschlossene Hüllflächenintegral über die Normalkomponente der elektrischen Verschiebungsdichte zu
[mm] \integral_{\varphi=0}^{2\pi}{\integral_{\vartheta=0}^{\pi}{D_{r}(r)\underbrace{\vec{e}_{r}*\vec{e}_{r}}_{=1}r^{2}sin(\vartheta)d\vartheta{d\varphi}}}=D_{r}(r)4\pi{r^{2}},
[/mm]
wobei sich die Integration zwecks Erhalt einer vollständigen Kugeloberfläche über den Azimutwinkel [mm] \varphi, [/mm] mit [mm] \varphi\in[0,2\pi] [/mm] und den Polarwinkel [mm] \vartheta, [/mm] mit [mm] \vartheta\in[0,\pi] [/mm] erstreckt.
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das setzt vorraus, dass [mm] \vec{D} [/mm] und vec{dA} parallel sind also d swnkrecht auf der Kugeloberfläche und D=const
dann hast du einfach D *Integral über dA, das als zwei Ringintegrale zu schreiben hab ich allerdings noch nie gesehen. i.A. schreibt man ein integral und daran Rand von K.
dass das Ganze Q inerhhalb der geschlossenen fläche ergibt ist ein Satz!
Gruss leduart
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