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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 So 07.11.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR->\IR, [/mm] mit f(x)=1,wenn x Element [mm] \IQ \cap [/mm] [0,1] und f(x)=0 sonst.
Konstruiere eine Folge von Hüllreihen [mm] \phi_n [/mm] von f, deren Inhalte gegen 0 konvergieren. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe fehlt mir komplett der Ansatz, auch wenn wir noch den Hinweis bekommen haben, eine Abzählung [mm] a_k [/mm] (k Element [mm] \IN) [/mm] von [mm] \IQ \cap [/mm] [0;1] zu verwenden.
Definitionen sind mir soweit bekannt:
Hüllreihe: [mm] \phi=\summe_{k=1}^{\infty}c_k*1_(Q_k)
[/mm]
Inhalt [mm] I(\phi)=\summe_{k=1}^{\infty}c_k*v(Q_k) [/mm] mit [mm] v(Q_k)=Volumen [/mm] des Quaders
Und es soll [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}I(\phi_n)=0 [/mm] seinalso muss [mm] I(\phi) [/mm] eine gegen 0 konvergierende Reihe sein.
Die Abzählung wäre [mm] \Q={a_1,a_2,...}
[/mm]
Aber wie mache ich nun weiter?
Viele Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Di 09.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo mathiko,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR->\IR,[/mm] mit f(x)=1,wenn x
> Element [mm]\IQ \cap[/mm] [0,1] und f(x)=0 sonst.
> Konstruiere eine Folge von Hüllreihen [mm]\phi_n[/mm] von f, deren
> Inhalte gegen 0 konvergieren.
> Hallo!
> Bei obiger Aufgabe fehlt mir komplett der Ansatz, auch
> wenn wir noch den Hinweis bekommen haben, eine Abzählung
> [mm]a_k[/mm] (k Element [mm]\IN)[/mm] von [mm]\IQ \cap[/mm] [0;1] zu verwenden.
>
> Definitionen sind mir soweit bekannt:
> Hüllreihe: [mm]\phi=\summe_{k=1}^{\infty}c_k*1_(Q_k)[/mm]
> Inhalt [mm]I(\phi)=\summe_{k=1}^{\infty}c_k*v(Q_k)[/mm] mit
> [mm]v(Q_k)=Volumen[/mm] des Quaders
> Und es soll [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}I(\phi_n)=0[/mm]
> seinalso muss [mm]I(\phi)[/mm] eine gegen 0 konvergierende Reihe
> sein.
> Die Abzählung wäre [mm]\Q={a_1,a_2,...}[/mm]
>
> Aber wie mache ich nun weiter?
> Viele Grüße von mathiko
obwohl ich nicht recht weiss, welche Eigenschaften eine Folge von Hüllreihen [mm]\phi_n[/mm] von f haben muss, versuche ich eine Antwort.
Ich stelle mir vor, die [mm] $Q_k$ [/mm] sind Intervalle, die jeweils um die x [mm] $\in$[/mm] [mm]\IQ \cap[/mm] [0,1] liegen. [mm]\IQ \cap[/mm] [0,1] ist abzählbar (siehe ![[]](/images/popup.gif) Cantors erstes Diagonalargument), daher eine Abzählung
[mm]a_k[/mm] (k Element [mm]\IN)[/mm].
Die [mm] $Q_k$ [/mm] so schmal machen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}I(\phi_n)=0[/mm].
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mo 15.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo meili!
Danke!!! (Auch, wenn ich etwas spät dran bin...)
Es hat geklappt :)
Viele Grüße
mathiko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mi 10.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] r_1,r_2,r_3, [/mm] ... eine Abzählung der rationalen Zahlen in [0,1]
Für n, k [mm] \in \IN [/mm] setze
[mm] $Q_k^{(n)}:= (r_k-\bruch{1}{n*2^k}, r_k+\bruch{1}{n*2^k})$
[/mm]
und
[mm] \phi_n:= \summe_{k=1}^{\infty}1_{Q_k^{(n)}}
[/mm]
FRED
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