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| Aufgabe | Wir betrachten [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] mit dem Standard-Skalarprodukt und bezeichnen mit $X$ die Menge aller affinen Hyperebenen im [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] also Mengen der Form
[mm] $H_{v,x}=\{y\in\mathbb{R}^n:\langle v,x\rangle=\lange v,y\rangle\}$ [/mm] mit [mm] $v,x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $v\neq [/mm] 0$. Für jedes [mm] $p\in\mathbb{R}^n$ [/mm] sei [mm] $U_p=\{H\in X:p\notin H\}$ [/mm] und [mm] $\phi_p(H)\in\mathbb{R}^n$ [/mm] der Fusspunkt des Lotes von $p$ auf $H$.
a) Bestimmen Sie [mm] $\phi_p(U_p)$ [/mm] und zeigen Sie, dass [mm] $\phi_p^{-1}(x)=H_{p-x,x}$ [/mm] für alle [mm] $p,x\in\mathbb{R}^n$
[/mm]
b) Geben Sie eine Formel für [mm] $\phi_p(H_{v,x})$ [/mm] für alle [mm] $p,v,x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] an. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Bei a) soll ich den Fusspunkt des Lotes von $p$ auf [mm] $U_p$ [/mm] bestimmen. Also
[mm] $\phi_p(U_p)$ [/mm] dies ist doch anschaulich der Vektor, welcher Senkrecht auf [mm] $U_p$ [/mm] steht, oder?
Was ist hier zu tun?
Da [mm] $\phi_p^{-1}(x)$ [/mm] gesucht ist, muss [mm] $\phi_p$ [/mm] doch eine Funktion sein, oder?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:51 Mi 06.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten [mm]\mathbb{R}^n[/mm] mit dem Standard-Skalarprodukt
> und bezeichnen mit [mm]X[/mm] die Menge aller affinen Hyperebenen im
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm], also Mengen der Form
>
> [mm]H_{v,x}=\{y\in\mathbb{R}^n:\langle v,x\rangle=\lange v,y\rangle\}[/mm]
> mit [mm]v,x\in\mathbb{R}^n[/mm] und [mm]v\neq 0[/mm]. Für jedes
> [mm]p\in\mathbb{R}^n[/mm] sei [mm]U_p=\{H\in X:p\notin H\}[/mm] und
> [mm]\phi_p(H)\in\mathbb{R}^n[/mm] der Fusspunkt des Lotes von [mm]p[/mm] auf
> [mm]H[/mm].
>
> a) Bestimmen Sie [mm]\phi_p(U_p)[/mm] und zeigen Sie, dass
> [mm]\phi_p^{-1}(x)=H_{p-x,x}[/mm] für alle [mm]p,x\in\mathbb{R}^n[/mm]
>
> b) Geben Sie eine Formel für [mm]\phi_p(H_{v,x})[/mm] für alle
> [mm]p,v,x\in\mathbb{R}^n[/mm] an.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Bei a) soll ich den Fusspunkt des Lotes von [mm]p[/mm] auf [mm]U_p[/mm]
> bestimmen.
Nein. Du sollst den Fusspunkt des Lotes von [mm]p[/mm] auf [mm]H[/mm] bestimmen.
> Also
>
> [mm]\phi_p(U_p)[/mm] dies ist doch anschaulich der Vektor, welcher
> Senkrecht auf [mm]U_p[/mm] steht, oder?
Nein. [mm]\phi_p(H)[/mm] ist anschaulich der Vektor, welcher
senkrecht auf [mm]H[/mm] steht.
>
> Was ist hier zu tun?
> Da [mm]\phi_p^{-1}(x)[/mm] gesucht ist, muss [mm]\phi_p[/mm] doch eine
> Funktion sein, oder?
Ja, und zwar: [mm] \phi_p:X \to \IR^n.
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank im voraus.
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> Nein. $ [mm] \phi_p(H) [/mm] $ ist anschaulich der Vektor, welcher
> senkrecht auf H steht.
Ja, aber in Aufgabenteil a) ist doch nach [mm] $\phi_p(U_p)$ [/mm] gefragt. Also der Vektor welcher senkrecht auf [mm] $U_p$ [/mm] steht, oder?
> Du sollst den Fusspunkt des Lotes von p auf H bestimmen.
Gibt es dafür eine spezielle Vorgehensweise?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 06.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Nein. [mm]\phi_p(H)[/mm] ist anschaulich der Vektor, welcher
> > senkrecht auf H steht.
>
> Ja, aber in Aufgabenteil a) ist doch nach [mm]\phi_p(U_p)[/mm]
> gefragt. Also der Vektor welcher senkrecht auf [mm]U_p[/mm] steht,
> oder?
[mm] U_p [/mm] und [mm]\phi_p(U_p)[/mm] sind doch Mengen !!
>
> > Du sollst den Fusspunkt des Lotes von p auf H bestimmen.
Bestimme die Gerade g durch p, die senkrecht auf H steht. Bestimme den Schnittpunkt von g und H.
FRED
>
> Gibt es dafür eine spezielle Vorgehensweise?
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Soll $H$ eine beliebige Hyperebene sein?
Ich weiß leider nicht, wie ich diese Gerade $g$ angeben soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 08.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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