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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 18.08.2014 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Der Hersteller behauptet dass höchstens 0,1% der produzierten Kondensatoren die Spezifikationen nicht entsprechen.
Ein Kunde prüft 10000 Kondensatoren und findet 13 defekte Kondensatoren.
Formuliere einen Hypothesentest. Welchen soll der Kunde verwenden? Bestimme näherungsweise den p-Wert der Beobachtung.
Und bestimmen Sie damit näherungsweise den Testentscheid zum Signifikanzniveau [mm] \alpha [/mm] = 5%. |
Liebe Forenteilnehmer,
Bei dieser Aufgabe wird nach einem Hypothesentest gefragt. Ich kenne den linksseitigen, den rechtsseitigen und den beidseitigen Test. Ist das damit gemeint? Soll der Kunde eines dieser Tests verwenden?
Den p-Wert der Beobachtung lässt sich eigentlich einfach durch den Dreisatz berechnen (13*100/10000=0,13) aber das ist keine näherungsweise Berechnung. Daher offensichtlich nicht die gefragte Lösung!
Ich bin über jede Idee zur Lösung dieser Aufgabe dankbar!
Also die Nullhypothese wäre doch: Mehr als 0,1% der Produktion entsprechen nicht der Spezifikationen.
Und die
Alternativhypothese: weniger als 0,1% der Produktion entsprechen nicht der Spezifikationen.
Soweit richtig?
Vielen Dank im voraus!
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Hallo,
> Der Hersteller behauptet dass höchstens 0,1% der
> produzierten Kondensatoren die Spezifikationen nicht
> entsprechen.
> Ein Kunde prüft 10000 Kondensatoren und findet 13 defekte
> Kondensatoren.
>
> Formuliere einen Hypothesentest. Welchen soll der Kunde
> verwenden? Bestimme näherungsweise den p-Wert der
> Beobachtung.
> Und bestimmen Sie damit näherungsweise den Testentscheid
> zum Signifikanzniveau [mm]\alpha[/mm] = 5%.
> Liebe Forenteilnehmer,
>
> Bei dieser Aufgabe wird nach einem Hypothesentest gefragt.
> Ich kenne den linksseitigen, den rechtsseitigen und den
> beidseitigen Test. Ist das damit gemeint? Soll der Kunde
> eines dieser Tests verwenden?
>
> Den p-Wert der Beobachtung lässt sich eigentlich einfach
> durch den Dreisatz berechnen (13*100/10000=0,13) aber das
> ist keine näherungsweise Berechnung. Daher offensichtlich
> nicht die gefragte Lösung!
>
> Ich bin über jede Idee zur Lösung dieser Aufgabe dankbar!
>
> Also die Nullhypothese wäre doch: Mehr als 0,1% der
> Produktion entsprechen nicht der Spezifikationen.
>
> Und die
>
> Alternativhypothese: weniger als 0,1% der Produktion
> entsprechen nicht der Spezifikationen.
>
> Soweit richtig?
In meinen Augen ist das alles richtig, was du da überlegt hast. Insbesondere auch der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit von p=0.13 . Ich würde mal sagen, das Wort näherungsweise ist hier im Sinne eines Schätzwertes gemeint, sonst ergibt das keinen Sinn.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 19.09.2014 | | Autor: | ATDT |
Hallo,
Ich benötige für diese Aufgabe noch Hilfe. Die Aufstellung meiner Hypothesen müsste vertauscht werden oder? Die Behauptung (Nullhypothese) des Herstellers ist ja, dass höchstens 0,1% der Produktion defekt sein kann.
Bitte um Hilfestellung beim Ansatz. Der Kunde soll also nachweisen dass mehr als 0,1% den Spezifikationen nicht entsprechen. Was soll ich genau prüfen? Die Beobachtung des Kunden ist ja dass aus 10000 Kondensatoren 13 defekte gefunden wurden.
Wie geht es weiter? Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Fr 19.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo ATDT,
ich würde zur Berechnung des ![[]](/images/popup.gif) p-Wertes und Aufstellung der Hypothesen wie folgt vorgehen:
[mm] H_0: \overline{p}\in[0;0.001] [/mm] Nullhypothese
[mm] H_1: \overline{p}\in[0.001;1] [/mm] Alternative
Bei 10000 Artikeln ist sinnvollerweise nach der Herstellerangabe [mm] (H_0) [/mm] zu erwarten, dass zwischen [mm] 0\cdot10000=0 [/mm] und [mm] 0,001\cdot10000=10 [/mm] Artikel defekt sind.
Wähle also [mm] $Y_i=|X-i|$ [/mm] mit $X$ = "Anzahl der Defekten Artikel" und [mm] $i\in[0,10]$
[/mm]
Als Realisierung des Tests erhälst du $x=13$.
Wir wählen nun $y=13-i$ mit [mm] i\in[0,10]. [/mm] Der p-Wert ist dann durch [mm] p=P(Y\ge y|H_0) [/mm] gegeben (siehe obigen Link), d.h. wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass bei Annahme der Nullhypothese die Realisierung $x=13$ oder ein extremerer Wert erhalten wird.
Wir schätzen ab:
[mm] 0\le P(Y_i\ge(13-i)|H_0)\le P_{p=0,001}(Y_{10}\ge\underbrace{13-10}_{=3})=1-P_{p=0,001}(Y_{10}<3)=1-\sum_{j=0}^{12}\vektor{10000 \\ j}0,001^j(1-0,001)^{10000-j}\approx0.208
[/mm]
Ich denke man darf hierbei davon ausgehen, dass in 0,1% aller Fälle ein Teil defekt ist und in 99,9% aller Fälle nicht, s.d. die Binomialverteilung gilt (10000-stufiger Bernoulli-Versuch).
Bei einem Signifikanzniveau von [mm] \alpha=0,05 [/mm] und damit [mm] p>\alpha [/mm] folgt eine Beibehaltung der Nullhypothese [mm] H_0. [/mm]
MfG
Ladon
EDIT: Ich habe mich wohl beim y vergriffen. Da wir $Y=|X-i|$ mit [mm] i\in[0,10] [/mm] haben, muss $y=13-i$ entsprechend als Abweichung von dem erwarteten Wert [mm] i\in[0,10] [/mm] gewählt werden. Die Grenze der Summe (s.o.) ist in der Tat dann 12, da [mm] X\in\{0,1,2,...,12\} [/mm] die vorliegende Ungleichung dann erfüllt (beachte, wie $Y$ in diesem Fall definiert war!). Insofern ist Hanspeter.Schmidts Korrekturmeldung nur z.T. richtig. Ich danke dir aber dennoch, dass du mich dadurch indirekt auf den Fehler bzgl. y hingewiesen bzw. noch mal zur Selbstkritik angeregt hast.
EDIT 2: Eine kurze Anmerkung zur Begründung, warum $i=10$ betrachtet wird, ist unten gegeben.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:24 Sa 20.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Hanspeter.schmidt,
wie oben unter EDIT bereits ausgeführt, wäre die obere Summengrenze für $ [mm] P_{p=0,001}(Y_{10}\ge13)=1-P_{p=0,001}(Y_{10}<13)=1-\sum_{j=0}^{\mathbf{22}}\vektor{10000 \\ j}0,001^j(1-0,001)^{10000-j}$
[/mm]
zwar richtig, doch ist $y=13$ falsch gewählt. Es müsste $y=3$ heißen.
Insofern ist das "=" bei
$ [mm] 1-P_{p=0,001}(Y_{10}<13)=1-\sum_{j=0}^{\mathbf{12}}\vektor{10000 \\ j}0,001^j(1-0,001)^{10000-j}$
[/mm]
nicht gerechtfertigt, wohl aber bei folgendem Term
$ [mm] P_{p=0,001}(Y_{10}\ge3)=1-P_{p=0,001}(Y_{10}<3)=1-\sum_{j=0}^{\mathbf{22}}\vektor{10000 \\ j}0,001^j(1-0,001)^{10000-j}$.
[/mm]
Wie oben gezeigt, hängt das mit der Definition von $Y$ zusammen. Der Fehler liegt also nicht bei der Summengrenze, sondern bei der Wahl von y.
Dein Ergebnis mit $0.208$ und der Grundgedanke hinter deiner Kritik ist allerings richtig. Danke dafür!
MfG
Ladon
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Hallo Ladon,
nun sieht alles korrekt aus. Ich blicke allerdings noch nicht ganz durch, weshalb es [mm] $Y_i$ [/mm] überhaupt braucht, das scheint alles nur zu verkomplizieren. Es würde reichen, wenn Du gleich $P(X [mm] \ge 13|H_0)$ [/mm] anschaust; darauf läuft es am Ende auch heraus.
Wenn Du die [mm] $Y_i$ [/mm] für $i=0 [mm] \ldots [/mm] 10$ aber einführst, dann musst Du sicher noch begründen, warum Du am Ende nur $i=10$ anschaust.
Gruss,
Hanspeter
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 14:06 So 21.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo hanspeter.schmidt,
ob eine Begründung nötig ist, warum $i=10$ zu betrachten ist, ist Ansichtssache. Man kann sich dies einfach durch stupides Nachrechnen klar machen oder man überlegt sich, wenn auch etwas informal, dass der Fall $i=10$ den größten Wert für $p$ mit $p=0,001$ aufweist. Man beachte, dass [mm] p\le0,001. [/mm] Damit wird die Wahrscheinlichkeit, dass bei Annahme von $p$ die Realisierung $x=13$ oder ein größerer Wert angenommen wird, entsprechend größer, je näher man $p$ an $0,001$ wählt. Bedenke [mm] P_p(Y_i\ge3|H_0) [/mm] ist monoton wachsend für [mm] 0\le p\le0,001 [/mm] und $i$ folgt aus der Wahl von $p$. Daraus folgt meine Abschätzung.
Du kannst dir natürlich auch direkt [mm] P_p(X\ge13|H_0) [/mm] mit [mm] $X=\mbox{ Anzahl}(defekte\mbox{ }Artikel)$ [/mm] ansehen, wie es bei der Test-Statistik des Binomialtest auch normalerweise gemacht wird. Allerdings musst du in diesem Fall dennoch begründen, warum man mit $p=0,001$ abschätzt. Ich empfand die vorliegende schreibweise daher einfacher, um diesen Aspekt zu betonen.
MfG
Ladon
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Hallo Ladon,
ich denke ja, wir sind jetzt bei Fragen der Einfachheit angelangt: Du findest das Eine einfacher, ich das Andere. Ist ganz OK so.
Dennoch: wenn Du mir in einer Prüfung einen zusätzlichen Parameter $i$ in deiner Lösung abgeben würdest, ohne die Wahl des konkreten Wertes von $i$ zu begründen, dann würde ich nicht die volle Punktzahl geben. Ich würde daneben schreiben "Wieso $i=10$?" und einen Abzug machen.
Ich habe ja nicht auf Deine Frage auch reagiert, weil mir die Wahl von $i$ nicht klar ist, sondern weil ich Deine Antwort v2 im Kontext "Nachhilfe" als in dieser Form nicht 100% Nachahmenswert eingestuft hatte.
Gruss,
Hanspeter
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:31 So 21.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Ich habe zwar einen kurzen Hinweis darauf gegeben, dass [mm] i\in[0,10] [/mm] liegen muss, aber ich muss dir Recht geben, dass die Antwort ohne große weitere Erläuterung in Bezug auf den Kontext "Nachhilfe" eventuell zu kurz war.
MfG
Ladon
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