Hypothesentest Varianz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Guten Morgen alle zusammen!
Ich habe zwei Fragen zu folgender Teststatistik, die man ja beim Testen auf die Varianz verwendet:
[mm] \bruch{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}
[/mm]
[mm] S^2: [/mm] stichprobenvarianz
[mm] \sigma_0^2: [/mm] Varianz der Nullhypothese
n: Stichprobengröße
1) Wenn die zugrunde liegende Zufallsvariable normalverteilt ist, dann besitzt diese Teststatistik ja eine chi-quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Aber ich bin mir nicht sicher, ob das auch gilt, wenn die zugrunde liegende Zufallsvariable nicht normalverteilt ist. Und verwendet man dann überhaupt diese Teststatistik?
Kann mir das jemand sagen?
2)Wozu dient in dieser Teststatistik das (n-1)? Es scheint ja irgendwie dazu da zu sein, dass die Stichprobengröße in die Verteilung mit ein geht. Aber was bringt mir das genau? Und wieso (n-1) und nicht n?
Viele Grüße,
Ellie123
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Sa 22.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Guten Morgen alle zusammen!
Guten Morgen Ellie
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> 1) Wenn die zugrunde liegende Zufallsvariable
> normalverteilt ist, dann besitzt diese Teststatistik ja
> eine chi-quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Aber
> ich bin mir nicht sicher, ob das auch gilt, wenn die
> zugrunde liegende Zufallsvariable nicht normalverteilt ist.
Nein, nur bei Normalverteilung.
> Und verwendet man dann überhaupt diese Teststatistik?
"Verwenden" vielleicht schon, aber man sollte das nur in dem Bewusstsein tun, dass dann die Chi-Quadrat-Verteilung nur eine "Kruecke" ist. Die wahre Verteilung ist m.W. in den meisten Faellen unbekannt.
>
> 2)Wozu dient in dieser Teststatistik das (n-1)? Es scheint
> ja irgendwie dazu da zu sein, dass die Stichprobengröße
> in die Verteilung mit ein geht. Aber was bringt mir das
> genau? Und wieso (n-1) und nicht n?
Es ist [mm] $S^2=\sum(X-\bar X)^2/(n-1)$, [/mm] so dass [mm] \bruch{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\sum(X-\bar X)^2/\sigma_0^2$.
[/mm]
Betrachte statt dessen einmal [mm] $\sum(X-\mu)^2/\sigma_0^2$. [/mm] Das ist die Summe unabhaengiger Quadrate standardnormalverteilter Zufallsvariablen, ist also [mm] $\chi^2(n)$-verteilt. [/mm] Das Wunder geschieht, indem [mm] $\mu$ [/mm] durch [mm] $\bar [/mm] X$ ersetzt wird: Dann resultiert eine [mm] $\chi^2(n-1)$-Verteilung.
[/mm]
vg Luis
PS: Bist du mit dem KS-Test weiter gekommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo Luis,
vielen dank für die Antwort schon mal! :o)
Ist das dann eigentlich bei dieser Teststatistik (die man ja bei dem Test bezüglich des Mittelwertes braucht):
[mm] \bruch{\bar X - \mu_0}{\sigma}\wurzel{n}
[/mm]
auch so, dass sie nur dann standardnormalverteilt ist, wenn die zugrunde liegende Zufallsvariable normalverteilt ist?
Wie ist das bei anderen zugrundeliegenden Zufallsvariablen? Und spielt der zentrale Grenzwertsatz da irgendeine Rolle?
Hab leider noch nicht so den richtigen Durchblick :-(
> > 2)Wozu dient in dieser Teststatistik das (n-1)? Es
> scheint
> > ja irgendwie dazu da zu sein, dass die
> Stichprobengröße
> > in die Verteilung mit ein geht. Aber was bringt mir das
> > genau? Und wieso (n-1) und nicht n?
>
> Es ist [mm]$S^2=\sum(X-\bar X)^2/(n-1)$,[/mm] so dass
> [mm]\bruch{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\sum(X-\bar X)^2/\sigma_0^2$.[/mm]
>
> Betrachte statt dessen einmal [mm]\sum(X-\mu)^2/\sigma_0^2[/mm].
> Das ist die Summe unabhaengiger Quadrate
> standardnormalverteilter Zufallsvariablen, ist also
> [mm]\chi^2(n)[/mm]-verteilt. Das Wunder geschieht, indem [mm]\mu[/mm] durch
> [mm]\bar X[/mm] ersetzt wird: Dann resultiert eine
> [mm]\chi^2(n-1)[/mm]-Verteilung.
>
> vg Luis
Wenn man das [mm] \mu [/mm] durch das [mm]\bar X[/mm] austauscht geht also ein Freiheitsgrad verloren. Das mit den Freiheitsgraden habe ich bisher leider noch nicht so richtig verstanden? Irgendwie habe ich wohl mal was gelesen, dass beim Chi-Quadrat-Anpassungstest auch Freiheitsgrade verloren gehen, wenn man Parameter der hypothetischen Verteilung aus der gegebenen Stichprobe schätzt (die nicht in der Nullhypothese vorgegeben sind). Oder so ähnlich. Das habe ich auch nicht richtig verstanden.
Hat das was miteinander zu tun bzw. ist die Begründung in beiden Fällen die gleiche?
>
> PS: Bist du mit dem KS-Test weiter gekommen?
Nein, bis jetzt noch nicht! Werde aber nachfragen und dir dann bescheid geben!
Viele Grüße,
Ellie123
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 22.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> vielen dank für die Antwort schon mal! :o)
>
> Ist das dann eigentlich bei dieser Teststatistik (die man
> ja bei dem Test bezüglich des Mittelwertes braucht):
>
>
> [mm]\bruch{\bar X - \mu_0}{\sigma}\wurzel{n}[/mm]
>
>
> auch so, dass sie nur dann standardnormalverteilt ist, wenn
> die zugrunde liegende Zufallsvariable normalverteilt ist?
Ja.
> Wie ist das bei anderen zugrundeliegenden Zufallsvariablen?
Genau so.
> Und spielt der zentrale Grenzwertsatz da irgendeine Rolle?
Durch ihn kann man Approximationen an die Standardnormalverteilung konstruieren.
> Hab leider noch nicht so den richtigen Durchblick :-(
>
> Wenn man das [mm]\mu[/mm] durch das [mm]\bar X[/mm] austauscht geht also
> ein Freiheitsgrad verloren. Das mit den Freiheitsgraden
> habe ich bisher leider noch nicht so richtig verstanden?
> Irgendwie habe ich wohl mal was gelesen, dass beim
> Chi-Quadrat-Anpassungstest auch Freiheitsgrade verloren
> gehen, wenn man Parameter der hypothetischen Verteilung aus
> der gegebenen Stichprobe schätzt (die nicht in der
> Nullhypothese vorgegeben sind). Oder so ähnlich. Das habe
> ich auch nicht richtig verstanden.
> Hat das was miteinander zu tun bzw. ist die Begründung in
> beiden Fällen die gleiche?
Das mit den FG ist in der Tat etwas kitzlig zu erklaeren.
Betrachte dazu den Fall $n=2$. In der Zufallsvariablen
[mm] $\frac{(X_1-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(X_2-\mu)^2}{\sigma^2}=Z_1^2+Z_2^2$ [/mm] wirken *zwei* unabhaengige standardnormalverteilte Zufallsvariablen [mm] $Z_1,Z_2$, [/mm] besitzt also eine [mm] $\chi^2(2)$-Verteilung.
[/mm]
Betrachte nun den Ansatz oben, wo [mm] $\mu$ [/mm] durch [mm] $\bar [/mm] X$ ersetzt wird. Es ist nicht schwer einzusehen, dass mit [mm] $\bar X=(X_1+X_2)/2$ [/mm] gilt
[mm] $\frac{(X_1-\bar X )}{\sigma^2}+\frac{(X_2-\bar X)^2}{\sigma^2}=\frac{(X_1-X_2)^2}{2\sigma^2}=Z^2$
[/mm]
fuer *eine* standardnormalteilte Zufallsvariable $Z$.
Generell wirken in [mm] $S^2$ [/mm] $n-1$ unabhaengige Zufallsvariablen.
Fuer den Chi-Quadrat-Anpassungstest gibt es aehnliche "Fesseln", weil sich die Besetzungszahlen zum Stichprobenumfang $n$ summieren.
vg Luis
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