Hypothesentest bezügl. Würfel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Würfel wurde 5-mal geworfen und wir stellen fest, daß dabei 2-mal die Sechs erscheint. Es kommt daher der Verdacht auf, daß dieser nicht fair ist !
Der Verdacht werde wie folgt formuliert: die Zahl 6 erscheine mit einer Wahrscheinlichkeit von p > 1/6. Wir testen nun zum Signifikanzniveau 5%:
[mm] H_0: [/mm] P("Würfel zeigt Augenzahl Sechs") = 1/6 ... Nullhypothese
[mm] H_1: [/mm] P("Würfel zeigt Augenzahl Sechs") > 1/6
/einseitiges Testproblem/ |
Liebe Kollegen,
ich habe da in der Literatur einen Alternativweg gefunden, der mir aber nicht klar wird:
P(N >= 2) = 1 - P(N<2) = 1 - [ P(N=0) + P(N=1)] = ...= 1 - (0.4 + 0.4) = 0.20
Die Autoren(leider sehr altes Buch, kann von den Autoren niemanden erreichen) argumentieren:
Das Ereignis mindestens zwei Sechser bei 5 Würfen hat unter [mm] H_{0} [/mm] eine Wahrscheinlichkeit von 20% und wir lehnen
daher [mm] H_{0} [/mm] nicht ab. ???
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand den Alternativweg erklären könnte.
Vielen Dank!
Und frohe Festtage an alle Kollegen dieses Forums!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 So 23.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andreas,
mit Hilfe der Binomialverteilung kannst Du ja genau ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei fünf Würfen bei einem fairen Würfel zweimal die Sechs auftaucht.Diese Wahrscheinlichkeit ist
$$ P = [mm] \vektor{5 \\ 2} \cdot \bruch{1}{36} \cdot \bruch{125}{216} [/mm] $$ und ergibt einen Wert von etwas über 16 Prozent.
Die von Dir aufgestellte Hypothese bezieht sich auf das wiederholte Werfen eines Würfels und der Betrachtung, ob dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von größer als 1/6 eine Sechs auftritt. Diese Hypothese hat also nichts mit der Aufgabenstellung zu tun.
Zur zweiten Rechnungsmethode kann ich nichts sagen, da der Zusammenhang der Größen unklar ist, was ist beispielsweise mit N gemeint? Irgendwelche Ereignisse scheinen hier mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% aufzutreten, aber warum und wieso, weiss ich beim besten Willen nicht. Hier kann ich nur mit Newton sagen: "Hypothesen mache ich nicht", auch wenn es sich hier um Hypothesen handelt  .
Schöne Weihnachten,
Infinit
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Vielen Dank für Deine Antwort !
Tschuldige bitte, mit N ist die Anzahl der geworfenen Sechser gemeint!
Ich bin immer noch am Grübeln, vor allem da dieses Beispiel aus einem
renommierten Lehrbuch stammt, und ich irgendwo hänge, aber ich weiß nicht wo....
Tatsache ist, es geht um einen Hypothesentest, - ob ein Würfel mit p > 1/6
die Augenzahl 6 erwarten läßt oder nicht. Der Ansatz mit P(N>=2)=...
wird als Alternativansatz gepriesen! ????
liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 25.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Andreas,
üblicherweise berechnet man bei gegebenen Hypothesen und Signifikanzniveau zunächst den Ablehnungsbereich und prüft dann, ob die Meßwerte in diesen Bereich fallen.
Die Grundidee dieses alternativen Ansatzes besteht darin auszunutzen, daß man den Meßwert schon vorliegen hat. Man berechnet daher gar nicht mehr den Ablehnungsbereich, sondern schaut nur noch, ob der Ablehnungsbereich überhaupt so gewählt werden kann, daß der Meßwert hineinfällt. Dazu läßt man den Ablehnungsbereich im Meßwert beginnen und berechnet die Wahrscheinlichkeit, daß die Meßvariable in den Ablehnungsbereich fällt, wenn H0 richtig ist. Das ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art und die müßte unter dem Signifikanzniveau liegen, wenn der Ablehnungsbereich dort liegen könnte. Das tut sie aber hier nicht, also muß der Ablehnungsbereich weiter rechts beginnen. N fällt also sicher nicht in diesen Bereich und damit kann H0 nicht abgelehnt werden.
OK?
Gruß
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 25.12.2007 | | Autor: | Blech |
> ich habe da in der Literatur einen Alternativweg gefunden,
> der mir aber nicht klar wird:
>
> P(N >= 2) = 1 - P(N<2) = 1 - [ P(N=0) + P(N=1)] = ...= 1 -
> (0.4 + 0.4) = 0.20
>
> Die Autoren(leider sehr altes Buch, kann von den Autoren
> niemanden erreichen) argumentieren:
>
> Das Ereignis mindestens zwei Sechser bei 5 Würfen hat unter
> [mm]H_{0}[/mm] eine Wahrscheinlichkeit von 20% und wir lehnen
> daher [mm]H_{0}[/mm] nicht ab. ???
>
Signifikanzniveau 5% heißt, daß die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich abzulehnen, kleiner/gleich 5% sein muß.
Die Autoren haben einfach für einen fairen Würfel ausgerechnet, wie wahrscheinlich es ist, daß man bei 5 Würfen mindestens zwei 6er kriegt und das Ergebnis ist 20%.
Damit kann man [mm] $H_0$ [/mm] bei einer Stichprobe mit 2 6ern nicht ablehnen, weil die Wahrscheinlichkeit, daß man mit einem fairen Würfel 2 oder mehr 6er würfelt, größer als 5% ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas01 |
Vielen Dank!
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