ISP impliziert Vollstän. axiom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Do 05.05.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen!
Ich habe ein kleines Verständnisproblem zum Beweis des Satzes aus Forsters Analysis 1, dass das Intervallschachtelungs-Prinzip das Vollständigkeitsaxiom impliziert.
Der Beweis lautet wie folgt:
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Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine vorgegebene Cauchy-Folge. Nach Definition gibt es eine Folge [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... natürlicher Zahlen mit
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] 2^{-k} \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_k.
[/mm]
Man definiere nun
[mm] I_k [/mm] := [mm] \{x\in\IR: |x-a_{n_{k}}| \le 2^{-k+1} \}
[/mm]
Die [mm] I_k [/mm] sind abgeschlossene Intervalle mit [mm] I_k \supset I_{k+1} [/mm] für alle k. Denn sei etwa x [mm] \in I_{k+1}. [/mm] Dann ist [mm] |x-a_{n_{k+1}}| \le 2^{-k}; [/mm] außerdem ist
[mm] |a_{n_{k+1}} [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] < [mm] 2^{-k},
[/mm]
woraus nach der Dreiecks-Ungleichung folgt [mm] |x-a_{n_{k}}| \le 2^{-k+1}, [/mm] also x [mm] \in I_k.
[/mm]
Da die Längen der Intervalle gegen null konvergieren, können wir das Intervallschachtelungs-Prinzip anwenden und erhalten einen Punkt [mm] x_0 \in \IR, [/mm] der in allen [mm] I_k [/mm] liegt, d.h.
[mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| \le 2^{-k+1} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 0.
Für n [mm] \ge n_{k} [/mm] ist [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] < [mm] 2^{-k}, [/mm] also insgesamt
[mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+1} [/mm] + [mm] 2^{-k} [/mm] < [mm] 2^{-k+2},
[/mm]
woraus folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] x_0, [/mm] die Cauchy-Folge konvergiert also. Damit ist der Satz bewiesen.
---
Mir leuchtet der gesamte Beweis ein, bis auf den Schluss, dass aus
[mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+1} [/mm] + [mm] 2^{-k} [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] folgt, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert. Da bin ich mir unsicher.
Meine Überlegungen sind diese hier:
Wenn für alle n [mm] \ge n_k |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] ist,
so ist für alle n [mm] \ge n_1 |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-1+2} [/mm] = 2 und deshalb auch [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon \ge [/mm] 2 (denn wenn für alle n [mm] \ge n_1 |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < 2 ist, so ist es auch kleiner als alle reellen Zahlen [mm] \ge [/mm] 2).
Für alle n [mm] \ge n_2 [/mm] gilt [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-2+2} [/mm] = 1 und [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon \ge [/mm] 1.
...
Insgesamt würde dann für all n [mm] \ge n_k |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] und [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon \ge 2^{-k+2} [/mm] gelten.
Kann man dann sagen, dass man die Epsilons mit jedem weiteren Schritt um die Hälfte verkleinert und somit allgemein formulieren kann, dass für k -> [mm] \infty [/mm] gilt:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_k \in \IN, [/mm] sodass für alle n [mm] \ge n_k [/mm] gilt:
[mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ?
Für eure Antworten wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße und noch einen schönen Feiertag,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Fr 06.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge in [mm] \IR, [/mm] also konvergent, da der metrische Raum [mm] (\IR,d), [/mm] wobei d(x,y)=|x-y|, vollständig ist.
Sei a der Grenzwert von [mm] (a_n). [/mm] Dann konvergiert jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] ebenfalls gegen a.
Für die Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] aus obigem Beweis gilt
$ [mm] |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n_k}| [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] $ für alle k,
Mit k [mm] \to \infty [/mm] sieht man: [mm] (a_{n_k}) [/mm] konvergiert gegen [mm] x_0.
[/mm]
Damit haben wir: [mm] x_0=a, [/mm] also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a=x_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Fr 06.05.2016 | | Autor: | X3nion |
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge in [mm]\IR,[/mm] also
> konvergent, da der metrische Raum [mm](\IR,d),[/mm] wobei
> d(x,y)=|x-y|, vollständig ist.
>
> Sei a der Grenzwert von [mm](a_n).[/mm] Dann konvergiert jede
> Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] ebenfalls gegen a.
>
> Für die Teilfolge [mm](a_{n_k})[/mm] aus obigem Beweis gilt
>
> [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n_k}| < 2^{-k+2}[/mm] für alle k,
>
> Mit k [mm]\to \infty[/mm] sieht man: [mm](a_{n_k})[/mm] konvergiert gegen
> [mm]x_0.[/mm]
>
> Damit haben wir: [mm]x_0=a,[/mm] also
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a=x_0[/mm]
>
> FRED
>
>
>
Hallo FRED,
erstmal danke für deine Antwort!
Ja das macht Sinn, dass wenn die Folge [mm] (a_{n_k}) [/mm] gegen einen Grenzwert konvergiert, wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes auch die Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen diesen Grenzwert konvergieren muss.
Aber in dem Beweis steht doch am Ende [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] und nicht [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_k}| [/mm] < [mm] 2^{-k+2}
[/mm]
Dann wird ja die Differenz zwischen Grenzwert und der Glieder [mm] a_n [/mm] betrachtet, und nicht der Glieder [mm] a_{n_k}, [/mm] oder sehe ich das falsch?
Und wieso folgt nun aus [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] die Konvergenz von [mm] (a_n)?
[/mm]
Kann ich das so sagen, wie ich es im ersten Beitrag am Ende beschrieben habe, dass wegen der "Verkleinerung" der Epsilons um jeweils die Hälfte nach und nach alle epsilons miteingeschlossen werden, die man gemäß Definition der Konvergenz braucht, nämlich alle [mm] \epsilon [/mm] > 0?
Zitat aus meinen Überlegungen im ersten Beitrag:
> Wenn, für alle n $ [mm] \ge n_k, |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] 2^{-k+2} [/mm] $ ist,
> so ist für alle n $ [mm] \ge n_1, |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] 2^{-1+2} [/mm] $ = 2 und deshalb auch $ [mm] |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ mit $ [mm] \epsilon \ge [/mm] $ 2 (denn wenn für alle n $ [mm] \ge n_1, |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < 2 ist, so ist es auch kleiner als alle reellen Zahlen $ [mm] \ge [/mm] $ 2).
> Für alle n $ [mm] \ge n_2 [/mm] $ gilt $ [mm] |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] 2^{-2+2} [/mm] $ = 1 und
> $ [mm] |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ mit $ [mm] \epsilon \ge [/mm] $ 1.
> ...
> Insgesamt würde dann für alle n $ [mm] \ge n_k, |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] 2^{-k+2} [/mm] $ und $ [mm] |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ mit $ [mm] \epsilon \ge 2^{-k+2} [/mm] $ gelten.
> Kann man dann grob sagen, dass man die Epsilons mit jedem weiteren Schritt um die Hälfte verkleinert und somit allgemein formulieren kann, dass für k -> $ [mm] \infty [/mm] $ gilt:
> Zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 gibt es ein $ [mm] n_k \in \IN, [/mm] $ sodass für alle n $ [mm] \ge n_k [/mm] $ gilt:
> $ [mm] |x_0 [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ ?
Über eure Antworten und Tipps zum Verständnis würd ich mich wie immer freuen!
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Sa 07.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge in [mm]\IR,[/mm] also
> > konvergent, da der metrische Raum [mm](\IR,d),[/mm] wobei
> > d(x,y)=|x-y|, vollständig ist.
> >
> > Sei a der Grenzwert von [mm](a_n).[/mm] Dann konvergiert jede
> > Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] ebenfalls gegen a.
> >
> > Für die Teilfolge [mm](a_{n_k})[/mm] aus obigem Beweis gilt
> >
> > [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n_k}| < 2^{-k+2}[/mm] für alle k,
> >
> > Mit k [mm]\to \infty[/mm] sieht man: [mm](a_{n_k})[/mm] konvergiert gegen
> > [mm]x_0.[/mm]
> >
> > Damit haben wir: [mm]x_0=a,[/mm] also
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a=x_0[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> Hallo FRED,
>
> erstmal danke für deine Antwort!
> Ja das macht Sinn, dass wenn die Folge [mm](a_{n_k})[/mm] gegen
> einen Grenzwert konvergiert, wegen der Eindeutigkeit des
> Grenzwertes auch die Folge [mm](a_n)[/mm] gegen diesen Grenzwert
> konvergieren muss.
>
> Aber in dem Beweis steht doch am Ende [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] <
> [mm]2^{-k+2}[/mm] und nicht [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n_k}|[/mm] < [mm]2^{-k+2}[/mm]
> Dann wird ja die Differenz zwischen Grenzwert und der
> Glieder [mm]a_n[/mm] betrachtet, und nicht der Glieder [mm]a_{n_k},[/mm] oder
> sehe ich das falsch?
>
> Und wieso folgt nun aus [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]2^{-k+2}[/mm]
diese Ungleichung gilt doch ,das hast du selbst in deinem ersten Beitrag geschrieben für n [mm] \ge n_k, [/mm] also auch für [mm] n=n_k
[/mm]
fred
> die
> Konvergenz von [mm](a_n)?[/mm]
> Kann ich das so sagen, wie ich es im ersten Beitrag am
> Ende beschrieben habe, dass wegen der "Verkleinerung" der
> Epsilons um jeweils die Hälfte nach und nach alle epsilons
> miteingeschlossen werden, die man gemäß Definition der
> Konvergenz braucht, nämlich alle [mm]\epsilon[/mm] > 0?
>
> Zitat aus meinen Überlegungen im ersten Beitrag:
> > Wenn, für alle n [mm]\ge n_k, |x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]2^{-k+2}[/mm]
> ist,
> > so ist für alle n [mm]\ge n_1, |x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]2^{-1+2}[/mm] = 2
> und deshalb auch [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]\epsilon \ge[/mm]
> 2 (denn wenn für alle n [mm]\ge n_1, |x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < 2 ist, so
> ist es auch kleiner als alle reellen Zahlen [mm]\ge[/mm] 2).
>
> > Für alle n [mm]\ge n_2[/mm] gilt [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]2^{-2+2}[/mm] = 1 und
> > [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]\epsilon \ge[/mm] 1.
>
> > ...
>
> > Insgesamt würde dann für alle n [mm]\ge n_k, |x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] <
> [mm]2^{-k+2}[/mm] und [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]\epsilon \ge 2^{-k+2}[/mm]
> gelten.
> > Kann man dann grob sagen, dass man die Epsilons mit
> jedem weiteren Schritt um die Hälfte verkleinert und
> somit allgemein formulieren kann, dass für k -> [mm]\infty[/mm]
> gilt:
>
> > Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm]n_k \in \IN,[/mm] sodass für
> alle n [mm]\ge n_k[/mm] gilt:
> > [mm]|x_0[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] ?
>
> Über eure Antworten und Tipps zum Verständnis würd ich
> mich wie immer freuen!
>
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 06.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
ich möchte gerne noch einmal meinen Thread aufgreifen, den ich vor einem halben Jahr begonnen habe aber aufgrund von privaten Gründen nicht mehr verfolgen konnte.
Danke dir Fred für deine Antwort, ich habe den Beweis insgesamt aber immer noch nicht verstanden.
Teilfolgen werden im Forster erst ein wenig später behandelt, somit dürften diese theoretisch zum Verständnis des Beweises eigentlich gar nicht herangezogen werden ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich möchte meine Fragen nochmals ordnen.
1) Eine Cauchy-Fole ist ja definiert wie folgt: Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN, [/mm] sodass für alle n,m [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Hier wird aber für [mm] \epsilon [/mm] nur 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... gewählt und somit werden ja direkt nicht alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 durchlaufen.
Kann ich es mir so vorstellen:
- Setze ich [mm] \epsilon_0 [/mm] = [mm] 2^{-0} [/mm] = 1, so gibt es ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] sodass für alle n,m [mm] \ge n_0 [/mm] gilt [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon_0 [/mm] = 1.
Somit kann ich diesem [mm] n_0 [/mm] auch alle [mm] \epsilon [/mm] > [mm] \epsilon_0 [/mm] zuordnen, denn wenn für alle n,m [mm] \ge n_0 |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon_0 [/mm] = 1 ist, so ist für alle n,m [mm] \ge n_0 |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] auch kleiner als alle [mm] \epsilon, [/mm] die größer als [mm] \epsilon_0 [/mm] sind.
- Setze ich [mm] \epsilon_1 [/mm] = [mm] 2^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm] so gibt es ein [mm] n_1 \in \IN, [/mm] sodass für alle n,m [mm] \ge n_0 [/mm] gilt [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ist.
Diesem [mm] n_1 [/mm] kann ich auch alle [mm] \epsilon [/mm] >0 mit [mm] \epsilon_0 [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] > [mm] \epsilon_1 [/mm] zuordnen mit ähnlicher Begründung wie oben, nur dass [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \epsilon_0 [/mm] sein muss, da [mm] \epsilon_0 [/mm] noch der Zahl [mm] n_0 [/mm] zugeordnet wird.
...
- Für [mm] \epsilon [/mm] > 1 gibt es also ein [mm] n_0 \in \In, [/mm] sodass für alle n,m [mm] \in \IN |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Setze ich allgemein [mm] \epsilon_k [/mm] = [mm] 2^{-k} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1, so gibt es ein [mm] n_k \in \IN, [/mm] sodass für alle n,m [mm] \ge n_k |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon_k [/mm] = [mm] 2^{-k}.
[/mm]
Der Zahl [mm] n_k [/mm] kann ich auch alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 mit [mm] \epsilon_{k-1} [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] > [mm] \epsilon_{k} [/mm] zuordnen. Denn weil für alle n,m [mm] \ge n_k |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon_k [/mm] = [mm] 2^{-k} [/mm] ist, so ist auch für alle n,m [mm] \ge n_k |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] kleiner als alle [mm] \epsilon, [/mm] die größer als [mm] \epsilon_k [/mm] sind, jedoch mit der Einschränkung, dass [mm] \epsilon_{k-1} [/mm] der Zahl [mm] n_{k-1} [/mm] zugeordnet wird.
Kann ich nun sagen, dass durch dieses Verfahren für k > [mm] \infty [/mm] alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 miteingeschlossen werden?
2) Kann ich den Schritt ab
> "d.h.
> [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| \le 2^{-k+1} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 0.
> Für n [mm] \ge n_{k} [/mm] ist [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] < [mm] 2^{-k}, [/mm] also insgesamt
> [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] 2^{-k+1} [/mm] + [mm] 2^{-k} [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] "
wie folgt verstehen?
Insgesamt gilt nach der Dreiecksungleichung [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}} [/mm] + [mm] a_{n_{k}} [/mm] - [mm] a_n| \le |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] + [mm] |a_{n_{k}} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] = [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] + | (-1) * [mm] (a_n [/mm] - [mm] a_{n_{k}}) [/mm] | = [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] + |-1| * [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] = [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] + [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n_{k}}| [/mm] < [mm] 2^{-k+1} [/mm] + [mm] 2^{-k} [/mm] < [mm] 2^{-k+2}
[/mm]
3) Wieso folgt aus [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] 2^{-k+2} [/mm] für alle n [mm] \ge n_k \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] ?
Über eure Antworten zum Verständnis würde ich mich sehr freuen! 
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 07.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
2) ist richtig,
3 rechne doch einfach zu einem beliebigen [mm] \epsilon [/mm] k aus.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 07.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi ledum,
danke für's Drüberschauen!
Hm was wäre mit den Ausführungen in Punkt 1) bezüglich der Wahl der [mm] \epsilon [/mm] ?
Und zu 3) Wäre es hier nicht analog zu Punkt 1)?
Also dass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] 2^{-0+2} [/mm] = 4,
und somit zu diesem [mm] n_0 [/mm] alle [mm] \epsilon [/mm] > 4 zugeordnet werden, denn [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_n| [/mm] ist ja für n [mm] \ge n_0 [/mm] kleiner als 4 und somit kleiner als alle reellen Zahlen, die [mm] \ge [/mm] 4 sind.
Für alle n [mm] \ge n_1 [/mm] gilt [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] 2^{-1+2} [/mm] = 2,
und somit werden zu [mm] n_1 [/mm] alle [mm] \epsilon [/mm] zugeordnet, die [mm] \ge [/mm] 2 und < 4 sind,
usw..
Und insgesamt folgt daraus, dass man zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_k [/mm] findet, sodass für alle n [mm] \ge n_k [/mm] gilt [mm] |x_0 [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Über ein Drüberschauen würde ich mich freuen!
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 07.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu jedem n ein Bereich für [mm] \epsilon [/mm] anzugeben, dann vielleicht noch vollständige Induktion ist vielleicht nicht falsch, aber aus [mm] \epsilon [/mm] n bzw N zu bestimmen ist einfacher und ohne aus [mm] \epsilon [/mm] >4 dann einfach zu schrei ben zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ist kein Beweis und wenn was für alle [mm] \epsilon [/mm] >2 gilt, dann ist das < 4 falsch. und von 2 Zahlen kann man in Mathe nicht usw, sagen , alle ungeraden Zahlen sind prim ,3,5,7..... zum Beispiel so ähnlich argumentierst du. vielleicht ist das der Weg. auf dem du dir die Konvergenz klar gemacht hast, dann ist es gut, aber eben kein Beweis. eigentlich weiss man ja, dass 2^(-n) beliebig klein wird und kann das direkt benutzen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 07.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi leduart,
danke für deinen Beitrag.
Hm ich tue mir etwas schwer dies zu verstehen, da nicht direkt die Definition von einer Cauchy-Folge bzw. von Konvergenz da steht.
Die Definition einer Cauchy-Folge lautet ja: für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in [/mm] IN, sodass [mm] \forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Hier schreibt man: Da [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchy-Folge ist, gibt es nach Definiton [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < [mm] n_3 [/mm] < ... natürlicher Zahlen mit
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] 2^{-k} \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_k
[/mm]
Kann ich es mir so vorstellen:
Nach Definition gibt es erst einmal für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in [/mm] IN, sodass [mm] \forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Also folgt insbesondere , dass es eine Folge natürlicher Zahlen [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < ... gibt, sodass [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] 2^{-k} [/mm] für alle n,m [mm] \ge n_k.
[/mm]
Ist es so, dass ich mir, weil [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchy-Folge ist, insbesondere die "epsilons" [mm] 2^{-k} [/mm] herauspicke?
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 08.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja , als beliebiges [mm] \epsilon [/mm] wählst du erstmal [mm] 2^{-k} [/mm] damit sind ja auch alle größeren [mm] \epsilon [/mm] abgedeckt, und da k beliebig ist eben alle.
in anderen Fällen kannst du ja auch <1/k oder [mm] <^/k^2 [/mm] usw schreiben und hast damit auch alle [mm] \epsilon
[/mm]
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 08.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi ledum,
erst einmal sage ich Danke für deine Antwort
Ja das muss ich mir erst einmal klar werden, dass man [mm] \epsilon [/mm] auch als [mm] 2^{-k} [/mm] wählen kann und trotzdem alle reellen [mm] \epsilon [/mm] > 0 erreicht.
Ich meine was ich verstanden habe ist, dass ich z.B. anstatt [mm] \epsilon [/mm] auch [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] wählen kann und somit trotzdem alle reellen [mm] \epsilon [/mm] > 0 abdecke, denn [mm] \epsilon [/mm] ist ja immer noch [mm] \in \IR.
[/mm]
Hier ist es ja etwas anders: hier wähle ich [mm] 2^{-k} [/mm] und habe so eigentlich nicht alle reellen [mm] \epsilon [/mm] > 0, sondern "nur" 1, 0.5, 0.25, 0.125, ...
Kann ich mir das abschließend so verständlich machen, dass wenn mein imaginärer Ausdruck < 1 ist für alle [mm] N_1 [/mm] er somit auch kleiner alle reellen Zahlen größer 1 ist, wenn mein imaginärer Ausdruck < 0.5 für alle [mm] N_2 [/mm] ist ...
und ich somit alle [mm] \epsilon [/mm] abdecke?
VG X3nion
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ich hab' nicht den ganzen Thread durchgesehen aber $ k $ ist hier kein Laufindex über die natürlichen Zahlen $0,1,2,...$ sondern variabel. In der ersten Antwort von Fred steht ja bereits, dass man $ k [mm] \to \infty$ [/mm] gegen unendlich laufen lässt.
Ob du ein bel. $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ vorgibst oder [mm] $2^{-k}$ [/mm] mit $ k $ bel. macht keinen Unterschied.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 08.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi ChopSuey,
die ersten Zeilen des Beweises lauten:
> Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine vorgegebene Cauchy-Folge. Nach Definition gibt es > eine Folge [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... natürlicher Zahlen mit
> [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] 2^{-k} \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_k.
[/mm]
Also gehe ich schon davon aus, dass k ein Laufindex natürlicher Zahlen ist?
VG X3nion
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Du hast recht. Mein Fehler, sorry. Hätte den Eingangspost aufmerksamer lesen sollen. Da $ k [mm] \to \infty$ [/mm] läuft, gilt allerdings trotzdem, dass durch $ k $ beliebig groß, dein $ [mm] 2^{-k}$ [/mm] bel. klein wird. Das meinte ich, im letzten Post.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 08.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Kein Thema 
Also kann man aus k -> [mm] \infty [/mm] und [mm] 2^{-k} [/mm] wird beliebig klein einfach logischerweise folgern, dass alle [mm] \epsilon [/mm] getroffen werden und muss man nicht noch begründen, dass wenn meine Aussage < [mm] 2^{0} [/mm] = 1 ist, sie auch kleiner als alle reellen Zahlen > 1 ist, wenn meine Aussage < [mm] 2^{-1} [/mm] = 0.5 ist, sie auch kleiner als alle reellen Zahlen > 0.5 ist, usw...?
Nimmt man dies also als logisch an und fertig?
Lg X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mi 09.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Also kann man aus k -> [mm]\infty[/mm] und [mm]2^{-k}[/mm] wird beliebig
> klein einfach logischerweise folgern, dass alle [mm]\epsilon[/mm]
> getroffen werden
Nein, nicht für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $2^{-k}=\varepsilon$.
[/mm]
> und muss man nicht noch begründen, dass
> wenn meine Aussage < [mm]2^{0}[/mm] = 1 ist,
Eine Aussage ist doch keine Zahl und damit nicht <1???
> sie auch kleiner als
> alle reellen Zahlen > 1 ist,
Wenn eine reelle Zahl x der Ungleichung $x<1$ genügt, dann genügt x auch der Ungleichung $x<y$ für alle reelle Zahlen $y>1$, wie aus $x<1<y$ mithilfe der Transitivität von der <-Relation auf den reellen Zahlen folgt.
> wenn meine Aussage < [mm]2^{-1}[/mm] =
> 0.5 ist, sie auch kleiner als alle reellen Zahlen > 0.5
> ist, usw...?
>
> Nimmt man dies also als logisch an und fertig?
Ich kann dir leider nicht wirklich folgen.
Das kann natürlich daran liegen, dass ich nicht den gesamten Thread studiert habe.
Den fehlenden Beweis der Konvergenz von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] habe ich dir ja in meiner anderen Antwort geliefert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mi 09.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo X3nion!
Ohne den gesamten Thread studiert zu haben:
Offenbar geht es im Wesentlichen darum, wieso aus
(*) [mm] $\forall k\in\IN\exists n_k\in\IN\forall n\ge n_k: |x_0-a_n|<2^{-k+2}$
[/mm]
die Konvergenz von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] folgt.
Gelte also (*).
Zum Nachweis von [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=x_0$ [/mm] sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|x_0-a_n|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Man kann nun auf unterschiedliche Arten herleiten, dass ein genügend großes [mm] $k\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $2^{-k+2}\le\varepsilon$.
[/mm]
(Wenn ich eine davon ausführen soll, frag bitte danach.)
Sei [mm] $N:=n_k$ [/mm] mit [mm] $n_k$ [/mm] aus (*).
Für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt dann wie gewünscht:
[mm] $|x_0-a_n|<2^{-k+2}\le\varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Mi 09.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für's kurze Drüberschauen und für deine Antwort!
Ja genau darum geht es, und es wäre super, wenn du das ein wenig ausführen könntest, denn es ist im Beweis nicht verzeichnet wieso das dann folgt [mm] :-\
[/mm]
Lg X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mi 09.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ja genau darum geht es, und es wäre super, wenn du das ein
> wenig ausführen könntest, denn es ist im Beweis nicht
> verzeichnet wieso das dann folgt [mm]:-\[/mm]
Geht es also jetzt noch um die Frage, warum zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $2^{-k+2}<\varepsilon$ [/mm] existiert oder ist etwas anderes an meinem Beweis unklar, das ich genauer ausführen soll?
Zu Ersterem:
Wir können z.B. Forsters Satz über das Wachstum von Potenzen nutzen (in meiner älteren Forster-Ausgabe ist dies Satz 3 b) in §3):
Wegen [mm] $0<\frac{1}{2}<1$ [/mm] gibt es zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\tilde{n}\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\left(\frac{1}{2}\right)^{\tilde{n}}<\varepsilon$.
[/mm]
Für [mm] $k:=\tilde{n}+2$ [/mm] gilt dann:
[mm] $2^{-k+2}=2^{-(k-2)}=2^{-\tilde{n}}=\frac{1}{2^{\tilde{n}}}=\left(\frac12\right)^{\tilde{n}}<\varepsilon$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 09.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi tobit09,
ahh jetzt hat es Klick gemacht, danke sehr!!
Mensch klar, den Satz gibt es ein paar Seiten weiter oben im Forster..
Ich bin mir nicht mehr sicher wo ich es gelesen habe, aber in diesem Zusammenhang mit der Vollständigkeit und dazu äquivalenten Aussagen meine ich gelesen zu haben, dass in eine Beweisrichtung das archimedische Axiom benötigt wurde, dieses sich aber in die andere Richtung ergeben hat.
Kann sich jemand von euch evtl. vorstellen, wo dies der Fall ist?
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 09.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ich bin mir nicht mehr sicher wo ich es gelesen habe, aber
> in diesem Zusammenhang mit der Vollständigkeit und dazu
> äquivalenten Aussagen meine ich gelesen zu haben, dass in
> eine Beweisrichtung das archimedische Axiom benötigt
> wurde, dieses sich aber in die andere Richtung ergeben
> hat.
Äquivalent sind für angeordnete Körper K:
1. das Supremumsaxiom ("Jede nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge von K besitzt eine kleinste obere Schranke.")
2. das Vollständigkeitsaxiom aus dem Forster zusammen mit dem Archimedischen Axiom
3. das Intervallschachtelungsprinzip zusammen mit dem Archimedischen Axiom.
Wenn man das Supremumsaxiom als Axiom wählt, kann man sich also das archimedische Axiom sparen; es folgt sowieso aus dem Supremumsaxiom.
Wählt man jedoch stattdessen Forsters Vollständigkeitsaxiom oder das Intervallschachtelungsprinzip als Axiom, so braucht man (anscheinend) zusätzlich das Archimedische Axiom, um die reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) vollständig axiomatisch zu beschreiben.
Beantwortet dies schon deine Frage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Sa 12.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für deine Antwort!
Hm was mich noch interessiert wäre, wieso aus dem Supremumsaxiom das archimedische Axiom folgt und wieso das archimedische Axiom bei der Einführung des Vollständigkeitsaxioms (jede Cauchy Folge konvergiert) sowie des Intervallschachtelungsprinzipes notwendig ist.
Ich weiß, dass das Archimedische Axiom wie folgt lautet:
Zu jeden reellen Zahlen x,y mit 0 < x < y gibt es ein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass nx > y. (A)
Könnt ihr mir helfen, wie ich beweisen könnte, dass aus dem Supremumsaxiom das archimedische Axiom folgt?
Wäre evtl. ein Widerspruchsbeweis denkbar? Und falls ja, was wäre die Gegenbehauptung zu (A) ?
Wäre euch sehr dankbar!
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 So 13.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ich weiß, dass das Archimedische Axiom wie folgt lautet:
>
> Zu jeden reellen Zahlen x,y mit 0 < x < y gibt es ein n [mm]\in \IN,[/mm]
> sodass nx > y. (A)
>
> Könnt ihr mir helfen, wie ich beweisen könnte, dass aus
> dem Supremumsaxiom das archimedische Axiom folgt?
> Wäre evtl. ein Widerspruchsbeweis denkbar? Und falls ja,
> was wäre die Gegenbehauptung zu (A) ?
In der Tat bietet sich hier ein Widerspruchsbeweis an.
Gelte also das Supremumsaxiom in einem angeordneten Körper K, aber nicht das Archimedische Axiom.
Es gibt also Körperelemente [mm] $x,y\in [/mm] K$ mit $0<x<y$, so dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $n*x\le [/mm] y$.
Also ist [mm] $n\le\frac{y}{x}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] d.h. die (nichtleere) Menge [mm] $\IN$ [/mm] ist nach oben durch [mm] $\frac{y}{x}$ [/mm] beschränkt.
Nach dem Supremumsaxiom existiert also eine kleinste obere Schranke [mm] $z\in [/mm] K$ von [mm] $\IN$.
[/mm]
Dann ist [mm] $z-1\in [/mm] K$ keine obere Schranke von [mm] $\IN$, [/mm] d.h. es gibt ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit $z-1<m$.
Also ist [mm] $z
Damit ist der gewünschte Widerspruch hergeleitet.
Deine zweite Frage, wieso das archimedische Axiom bei der Verwendung von Forsters Vollständigkeitsaxioms bzw. des Intervallschachtelungsprinzipes zusätzlich nötig ist, ist nicht ganz so leicht zu beantworten.
Zum Nachweis würde man wohl einen nicht archimedisch angeordneten Körper konstruieren, der Forsters Vollständigkeitsaxiom bzw. dem Intervallschachtelungsprinzip genügt.
So weit ich weiß, sind nicht archimedisch angeordnete Körper Gegenstand der sogenannten Nichtstandardanalysis, in der ich mich leider nicht auskenne.
Ich befürchte, dass ein genauer Nachweis Analysis 1-Niveau weit übersteigen wird.
Solltest du dennoch an einem solchen Nachweis interessiert sein, eröffne am besten einen neuen Thread zu dieser Frage. Dann sind die Chancen höher, dass dir jemand antwortet. Allerdings könnte es auch gut sein, dass sich niemand hier im Forum mit nicht archimedisch angeordneten Körpern auskennt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 13.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für deine Antwort!
Okay das mit der anderen Thematik würde dann wirklich den Rahmen sprengen :o dann lasse ich das lieber erst einmal beiseite und kann es ja immer noch ggf. in einem neuen Beitrag fragen!
Ich habe noch 2 Fragen zu deinem vollzogenen Beweis:
1) Das archimedische Axiom sagt ja aus: es gibt für alle Körperelemente x,y [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < x < y ein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass nx > y.
Du hast die Gegenaussage gemacht, dass Körperelemente x,y existieren mit 0 < x < y, sodass nx [mm] \le [/mm] y für alle n.
Wieso lautet die Gegenaussage nicht:
für alle Körperelemente x,y [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < x < y gilt nx [mm] \le [/mm] y für alle n?
2) Verwendest du beim Schritt "es gibt ein m [mm] \in \IN, [/mm] sodass z-1 < m.
Also ist z < m+1 [mm] \in [/mm] IN"
das Axiom, welches besagt, dass wenn m [mm] \in \IN [/mm] ist, auch m+1 [mm] \in \IN [/mm] ist?
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 So 13.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> 1) Das archimedische Axiom sagt ja aus: es gibt für alle
> Körperelemente x,y [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < x < y ein n [mm]\in \IN,[/mm]
> sodass nx > y.
Ja. Mit Quantoren formuliert:
[mm] $\forall x,y\in K\text{ mit }0
> Du hast die Gegenaussage gemacht, dass Körperelemente x,y
> existieren mit 0 < x < y, sodass nx [mm]\le[/mm] y für alle n.
Ja. Mit Quantoren geschrieben:
[mm] $\exists x,y\in K\text{ mit }0
> Wieso lautet die Gegenaussage nicht:
> für alle Körperelemente x,y [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < x < y gilt
> nx [mm]\le[/mm] y für alle n?
Grob gesagt: Weil beim Verneinen aus All-Quantoren Existenz-Quantoren werden.
Genauer gesagt: Die Verneinung von "Für alle x,y A(x,y)" (wobei A(x,y) irgendeine Aussageform sei) ist nicht etwa "Für alle x,y nicht A(x,y)", sondern "Es existieren x,y mit nicht A(x,y)".
Wenn "Für alle x,y A(x,y)" nicht gilt, kann durchaus für gewisse x,y die Aussageform A(x,y) wahr werden, nur eben nicht für alle x,y, d.h. für mindestens eine Wahl von x,y nicht.
> 2) Verwendest du beim Schritt "es gibt ein m [mm]\in \IN,[/mm]
> sodass z-1 < m.
> Also ist z < m+1 [mm]\in[/mm] IN"
> das Axiom, welches besagt, dass wenn m [mm]\in \IN[/mm] ist, auch
> m+1 [mm]\in \IN[/mm] ist?
Ich verwende in der Tat, dass für [mm] $m\in\IN$ [/mm] auch [mm] $m+1\in\IN$ [/mm] gilt.
Als Axiom würde ich dies nicht bezeichnen.
Unter [mm] $\IN$ [/mm] verstehen wir nach Forster ja den Durchschnitt aller induktiven Mengen in K.
[mm] $\IN$ [/mm] ist selbst wieder induktiv (wie sich leicht nachprüfen lässt, falls noch nicht bekannt) und damit gilt für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm] auch [mm] $m+1\in\IN$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Di 15.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Tobias,
danke für deine Erklärungen
Ja jetzt macht es Sinn für mich!
Die Sache mit den Quantoren und Aussagen muss ich mir mal noch genauer aussagen, insbesondere die Negierungen :)
Aber allgemein kann man ja sagen, dass beim Verneinen die Quantoren verändert werden (Aus dem Existenzquantor wird der Allquantor und umgekehrt).
VG X3nion
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Wenn ich deine Ausführengen richtig verstanden habe, hast du das Problem, was mit den vielen verschiedenen $ [mm] \epsilon [/mm] $-s los ist, die gößer oder kleiner als das "momentane" sind.
Das ist aber bedeutungslos. Du musst dir weder welche konstruieren noch viele betrachten, sondern nur eines, aber ein BELIEBIGES.
Für die Konvergenz musst du nur zeigen: Wenn [mm] x_n [/mm] nach a konvergiert, muss ab irgendeinem n jeder weitere Wert für [mm] |x_n [/mm] - a| < $ [mm] \epsilon [/mm] $ bleiben, egal, wie klein das $ [mm] \epsilon [/mm] $ (>0) vorher war.
Das bedeutet in deinem Fall:
Wenn das Intervall - kontinuierlich oder mit Sprüngen - immer kleiner als [mm] 2^{-k} [/mm] wird, wobei nur wichtig ist, das k nach [mm] \infty [/mm] geht und weiter wächst (wenn auch nicht bei jedem neuen Intervall), so wird IRGENDEIN FESTES, aber bliebig kleines $ [mm] \epsilon [/mm] $ irgendwann unterschritten, und das bleibt dann auch so. Egal, wie $ [mm] \epsilon [/mm] $ vorher heißt.
Beispiel:
[mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] wird kleiner als jedes $ [mm] \epsilon [/mm] $.
Begründung: Es gibt eine natürliche Zahl N > x.
[mm] \bruch{x^N}{N!}=\bruch{x*x*x*x*x...(N-mal)}{N!} [/mm] ist ein fester Wert A
Erhöhen wir nun n auf N+1, so kommt der Faktor [mm] \bruch{x}{N+1} [/mm] < 1 hinzu. Die nächsten hinzukommenden Faktoren sind alle kleiner als 1 und vermindern somit den Wert von A wieder. Wenn n=2N wird, bekommen wir sogar den Faktor [mm] \bruch{x}{2N}<1/2 [/mm] hinzu. Die nächsten Faktoren sind alle < 1/2 und halbieren den Wert wieder. nach n=100N werden alle hinzukommenden Faktoren <1/1000, bei jedem Schritt bleibt also nur noch 1/1000 vom vorhergehenden Wert übrig usw.
Egal nun, wie klein du dein [mm] $\epsilon$ [/mm] wählst, irgendwann wird der Wert kleiner als dieses [mm] $\epsilon$. [/mm] Du musst keine Vergleiche mit momentanen oder folgenden [mm] $\epsilon$-s [/mm] betrachten. Also konvergiert der Ausdruck gegen 0.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Di 15.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
erstmal sage ich Danke für die ausführliche Antwort!
Ja das leuchtet mir nur ein, aber es war mir nicht direkt klar, weil man in den vorherigen Beweisen im Forster zu Folgen bisher immer einen Ausdruck < [mm] \epsilon, [/mm] < [mm] \frac{1}{\epsilon} [/mm] oder < [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] gesetzt hat.
Aber ich habe nun verstanden, dass wegen dem Satz des Wachstums von Potenzen für 0 < b < 1 es für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt, sodass [mm] b^{n} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] gilt und dass aufgrunddessen die Ausdrücke < [mm] 2^{-k+1} [/mm] oder < [mm] 2^{-k+2} [/mm] auch < [mm] \epsilon [/mm] sind für ein bestimmtes k.
VG und danke nochmals an euch alle für eure Beiträge,
X3nion
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