\IZ[\sqrt{n}] mit n < 0 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
in dem Buch "Elementare und algebraische Zahlentheorie" (Stach, Piontkowski)
werden die Gaußschen Zahlen definiert als
[mm] $$\IZ[i]:=\IZ \oplus i\IZ:=\{x+iy:\;x,y \in \IZ\}\,.$$
[/mm]
Alles kein Problem. Was mich ein wenig verwirrt, ist, dass in anderen
Aufgaben dann
[mm] $$\IZ[\sqrt{-2}]=\IZ \oplus \sqrt{-2}\;\IZ$$
[/mm]
und
[mm] $$\IZ[\sqrt{-5}]$$
[/mm]
auftauchen. Dabei stört mich eigentlich auch nicht, dass die Definitionen
nicht bis zum Ende ausgeschrieben werden, weil man sich ja denken kann,
wie sie gemeint sind. Mich irritiert vielmehr:
Aus bekanntem Grund "soll man nicht [mm] $i=\sqrt{-1}$ [/mm] schreiben" (denn es
gilt ja [mm] $i^2=(-i)^2=-1$).
[/mm]
Wieso schreibt man oben [mm] $\sqrt{-2}$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt{-5}$ [/mm] - ich hätte
erwartet, wenn man [mm] $\IZ[i]$ [/mm] schreibt, dass man anstatt [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$
[/mm]
dann auch [mm] $\IZ[i*\sqrt{2}]$ [/mm] schreibt.
Gibt es Unterschiede zwischen [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] und [mm] $\IZ[i*\sqrt{2}]\,,$ [/mm] die
ich gerade nicht sehe? Oder was gibt's da für einen Grund? Gibt's
überhaupt einen Grund, außer eventueller "Schreibfaulheit"?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ob man nun [mm] \sqrt{-2} [/mm] mit [mm] i*\sqrt{2} [/mm] oder mit [mm] -i*\sqrt{2}
[/mm]
identifizieren will, ändert jedenfalls nichts
an der Menge aller Zahlen $\ x$ mit $x\ =\ [mm] z*\sqrt{-2}\quad (z\in\IZ)$
[/mm]
[mm] $\{x\ |\ \ x\,=\,z\,*(i*\sqrt{2})\ \ (z\in\IZ)\,\}\ [/mm] \ =\ \ [mm] \{x\ \ |\ x\,=\,z\,*(-\,i*\sqrt{2})\ \ (z\in\IZ)\,\}$
[/mm]
Die Schreibweise [mm] \sqrt{-2} [/mm] ist aber auch nach meiner
Meinung eher problematisch ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Mi 06.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ob man nun [mm]\sqrt{-2}[/mm] mit [mm]i*\sqrt{2}[/mm] oder mit [mm]-i*\sqrt{2}[/mm]
> identifizieren will, ändert jedenfalls nichts
> an der Menge aller Zahlen [mm]\ x[/mm] mit [mm]x\ =\ z*\sqrt{-2}\quad (z\in\IZ)[/mm]
>
> [mm]\{x\ |\ \ x\,=\,z\,*(i*\sqrt{2})\ \ (z\in\IZ)\,\}\ \ =\ \ \{x\ \ |\ x\,=\,z\,*(-\,i*\sqrt{2})\ \ (z\in\IZ)\,\}[/mm]
genau. Und wenn man $n$-te Wurzeln (anstelle zweite) betrachtet, ist das ganze aehnlich, nur dass man i.A. nur eine Isomorphie zwischen den Ringen hat. Aus algebraischer Sicht ist es also voellig egal, welche $n$-te Wurzel einer Zahl man dazuadjungiert.
Wobei es da Ausnahmen gibt: man kann [mm] $\sqrt[3]{-1}$ [/mm] als $-1 [mm] \in \IZ$ [/mm] auffassen, aber auch als sechste primitive Einheitswurzel. Das sind zwei recht verschiedene Dinge! Normalerweise meint man mit [mm] $\IZ[\sqrt[n]{m}]$, [/mm] dass ein Element hinzuadjungiert wird, wessen Minimalpolynom gleich [mm] $X^n [/mm] - m$ ist. (Und dann ist die Isomorphie von der ich sprach eh klar.)
> Die Schreibweise [mm]\sqrt{-2}[/mm] ist aber auch nach meiner
> Meinung eher problematisch ...
Richtig problematisch wird es, wenn man irgendwo [mm] $\sqrt[n]{1}$ [/mm] hinzuadjungiert. Das habe ich leider durchaus schon in Papern, Buechern und Skripten gesehen...
Aus algebraischer Sicht ist zumindest [mm] $\sqrt{n}$, [/mm] solange $n [mm] \neq [/mm] 0, 1, [mm] m^2$ [/mm] fuer alle $m [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, in Ordnung (und hauptsaechlich der Faulheit geschuldet  ). Sobald man aus einer etwas allgemeineren (nicht nur rein algebraischen) Sicht schaut, ist es allerding sehr wohl uneindeutig und (zumindest etwas) problematisch.
LG Felix
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dazuadjungiert
hinzuadjungiert
... die kommen in meine Liste redundanter Pleonasmen ...
Al
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Hallo Al,
dazu ist mir spontan ein legendärer Tenniskommentar vom ehrwürdigen Gerd Rubenbauer eingefallen:
"Da spielt er wunderbar den Ball long line die Linie entlang!"
Liebe Grüße
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 06.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> dazuadjungiert
> hinzuadjungiert
>
> ... die kommen in meine Liste redundanter Pleonasmen ...
:D
Aber solang ich nicht mit wegadjungieren anfange, kann ich damit noch leben
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> Hallo Marcel,
>
> ob man nun [mm]\sqrt{-2}[/mm] mit [mm]i*\sqrt{2}[/mm] oder mit [mm]-i*\sqrt{2}[/mm]
> identifizieren will, ändert jedenfalls nichts
> an der Menge aller Zahlen [mm]\ x[/mm] mit [mm]x\ =\ z*\sqrt{-2}\quad (z\in\IZ)[/mm]
>
> [mm]\{x\ |\ \ x\,=\,z\,*(i*\sqrt{2})\ \ (z\in\IZ)\,\}\ \ =\ \ \{x\ \ |\ x\,=\,z\,*(-\,i*\sqrt{2})\ \ (z\in\IZ)\,\}[/mm]
okay, das war mir klar.
> Die Schreibweise [mm]\sqrt{-2}[/mm] ist aber auch nach meiner
> Meinung eher problematisch ...
Vor allem verwirrt es mich, dass zuvor
[mm] $$\IZ[i]$$
[/mm]
definiert wurde: Warum dann nicht auch dort [mm] $\IZ[\sqrt{-1}]$? [/mm] (Erst eine -
in meinen Augen "saubere Notation" mit [mm] $i\,,$ [/mm] danach "unsauberere" mit
[mm] $\sqrt{-2}\,, \sqrt{-5}$?! [/mm] Also das ist irgendwie konsequent
inkonsequent, für mich jedenfalls! ^^ )
Danke Dir (und auch Felix)!
Gruß,
Marcel
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