I(X) ist ideal in R[x1,...xn] < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mi 10.11.2004 | | Autor: | evchen |
X teilmenge von [mm] R^n, [/mm] sei I(x)={P element R[x1,...,xn],P(a)=0 für alle a element X}. jetz muss ich zeigen dass I(X) ist ideal in R[x1,...xn]. wie mach ich das? weiters soll ich dann jeweils zwei spezielle Teilmengen X in [mm] R^n [/mm] für n=1,2,3 (nicht tragisch ob Punkte, geraden, flächen od vereinigungen davon) und bestimme ein EZS von I(X).
mein problem ist ich hab die letzten 3 vorlesungen versäumt weil ich krank war. hoffe sehr ihr könnt mir helfen od mir zumindest einen ansatz liefern.
danke im voraus, lg eva
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Hallo Eva!
Zunächst mal: ist Dir klar, was Du zeigen mußt, damit Du ein Ideal hast?
Du hast $I(X) [mm] \subseteq \IR [x_1, \ldots x_n]$ [/mm] gegeben und letzteres ist ein Ring. (Ich nehme mal an, dass ihr es für die reellen Zahlen macht - aber falls Dein $R$ einen beliebigen kommutativen Ring meint, dann nur zu.)
Um zu zeigen, dass es sich bei $I(X)$ um ein Ideal handelt, reicht es zu sehen, dass
i) $0 [mm] \in [/mm] I(X)$ (das ist nicht so schwer)
ii) Für $f, g [mm] \in [/mm] I(X)$ gilt: $f + g [mm] \in [/mm] I(X)$.
iii) Für $f [mm] \in [/mm] I(X)$ und $h [mm] \in \IR [/mm] [ [mm] x_1, \ldots, x_n [/mm] ]$, wobei $h$ wirklich ein beliebiges Polynom ist, gilt: $f [mm] \cdot [/mm] h [mm] \in [/mm] I(X)$.
All das ist nicht schwer - versprochen! 
Und für die Beispiele würde ich für $n = 2$ unkomplizierte Teilmengen nehmen (z.B. die [mm] $x_1$-Achse) [/mm] und dafür das Verschwindungsideal berechnen.
Interessant wird es erst, wenn diese Konzepte verallgemeinert werden. Ist das eine allgemeine Algebra-Vorlesung oder eine algebraische Geometrie?
Viel Erfolg auf jeden Fall!
Lars
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