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| Aufgabe | | Es sei R' ein Unterring eines Ringes R und [mm]I \subseteq R[/mm] sei ein Ideal. Zeigen Sie, dass [mm]I \cap R'[/mm] ein Ideal in R' ist und dass [mm]R'/(I\cap R')[/mm] isomorph ist zu [mm](R'+I)/I[/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe da gar keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe herangehen soll und morgen ist schon Abgabe...:( Hat jemand eine Idee???
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 02.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo,
nun, [mm] $I\capR'$ [/mm] ist ein Ideal in $R'$,da so wohl $I$ als auch $R$ abelsche Untergruppen von $R$ sind, also ist es auch ihr Schnitt. Beide sind abgeschlossen unter Multiplikation mit Elementen aus $R'$, da $R'$ ein Unterring ist und $I$ als Ideal sogar abgeschlossen unter Multipliktion mit Elementen aus $R$ ist.
Nun zur Isomorphie: Betrachte die Komposition der Abbildungen
[mm] $R'\rightarrow R'+I\twoheadrightarrow [/mm] (R'+I)/I$. Sie ist surjektiv und ihr Kern ist [mm] $R'\cap [/mm] I$, woraus die Behauptung mit dem Homomorphiesatz folgt. (Übrigens ist bei solchen Aufgaben oft der Ansatz mit dem Homomorphiesatz die richtige Wahl)
Viele Grüße,
Jan
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Vielen Dank. Ich hatte da auch schon den Homomrphiesatz ins Auge gefasst, allerdings ist das Schwierigste zu wissen auf welche Abbildung man die anwenden soll.
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